理論的バックグラウンド

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理論的バックグラウンド

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/06 21:08 UTC 版)

「VIX指数」の記事における「理論的バックグラウンド」の解説

理論的にはVIX指数は満期までのS&P 500のボラティリティの平均値の期待値として解釈される。満期を T としたVIX指数は以下の式で算出される。 V I X T = 100 × σ , σ 2 = 2 T ∑ i e R T Q ( K i ) K i 2 Δ K i − 1 T [ F − K 0 K 0 ] 2 ここで R は金利であり、 F は満期を T とするオプションのインデックス価格に対して望ましいレベルの先渡価格のインデックスである。 K i はオプションの行使価格の水準を表しており、行使価格の小さい方から昇順で番号付けられていて、 K 0 が F を下回る最も大きな行使価格の値となるようになっている。 Δ K i は K i + 1 と K i − 1 の差分の2分の1 ( K i + 1 − K i − 1 ) / 2 である。 Q ( K i ) は行使価格 K i 、満期 T のオプション価格のビットアスクスプレッドの中点となる。ただし、 K i < K 0 {\displaystyle K_{i} K 0 {\displaystyle K_{i}>K_{0}} ならばコールオプションの価格が用いられている。 第2項は補正としての意味合いが強く、VIX指数の理論的なバックグラウンドを理解する上で重要なのは第1項の総和である。そこで第2項は無視して、第1項について考えてみる。第1項は積分を離散化したもので、あらゆる水準の行使価格でのオプションが市場で取引可能であるとすれば、次の積分形式での表示が可能である。 σ 2 = 2 T ( ∫ 0 F e R T P ( K , T ) K 2 d K + ∫ F ∞ e R T C ( K , T ) K 2 d K ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}\left(\int _{0}^{F}e^{RT}{\frac {P(K,T)}{K^{2}}}dK+\int _{F}^{\infty }e^{RT}{\frac {C(K,T)}{K^{2}}}dK\right)} ここで C ( K , T ) , P ( K , T ) {\displaystyle C(K,T),P(K,T)} はそれぞれ満期 T {\displaystyle T} 、行使価格 K {\displaystyle K} のコールオプションとプットオプションの価格を指す。この時、リスク中立確率測度による期待値を E ∗ {\displaystyle E^{*}} で表すと、リスク中立確率測度の定義から C ( K , T ) = E ∗ [ e − R T max { S ( T ) − K , 0 } ] , P ( K , T ) = E ∗ [ e − R T max { K − S ( T ) , 0 } ] {\displaystyle C(K,T)=E^{*}[e^{-RT}\max\{S(T)-K,0\}],\quad P(K,T)=E^{*}[e^{-RT}\max\{K-S(T),0\}]} となる。ここで S ( T ) {\displaystyle S(T)} は満期 T {\displaystyle T} におけるオプションの原資産の価格である。よって σ 2 = 2 T E ∗ [ ∫ 0 F max { K − S ( T ) , 0 } K 2 d K + ∫ F ∞ max { S ( T ) − K , 0 } K 2 d K ] {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}E^{*}\left[\int _{0}^{F}{\frac {\max\{K-S(T),0\}}{K^{2}}}dK+\int _{F}^{\infty }{\frac {\max\{S(T)-K,0\}}{K^{2}}}dK\right]} と表されることが分かる。ここでCarr-Madan の展開公式から次の式変形が可能である。 ∫ 0 F max { K − S ( T ) , 0 } K 2 d K + ∫ F ∞ max { S ( T ) − K , 0 } K 2 d K = − log ⁡ S ( T ) + log ⁡ F + S ( T ) − F F {\displaystyle \int _{0}^{F}{\frac {\max\{K-S(T),0\}}{K^{2}}}dK+\int _{F}^{\infty }{\frac {\max\{S(T)-K,0\}}{K^{2}}}dK=-\log S(T)+\log F+{\frac {S(T)-F}{F}}} したがって σ 2 = 2 T ( − E ∗ [ log ⁡ S ( T ) ] + log ⁡ F + E ∗ [ S ( T ) ] − F F ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}\left(-E^{*}[\log S(T)]+\log F+{\frac {E^{*}[S(T)]-F}{F}}\right)} となる。現時点を 0 {\displaystyle 0} 時点とすると先渡価格の無裁定価格は F = E ∗ [ S ( T ) ] = e R T S ( 0 ) {\displaystyle F=E^{*}[S(T)]=e^{RT}S(0)} なので次が得られる。 σ 2 = 2 T ( R T − E ∗ [ log ⁡ S ( T ) − log ⁡ S ( 0 ) ] ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}{\Big (}RT-E^{*}[\log S(T)-\log S(0)]{\Big )}} ここで原資産価格 S {\displaystyle S} のリスク中立確率測度下での価格変動がボラティリティが変動する幾何ブラウン運動に従うとする。つまり S ( T ) = S ( 0 ) + ∫ 0 T R S ( t ) d t + ∫ 0 T v ( t ) S ( t ) d W ∗ ( t ) {\displaystyle S(T)=S(0)+\int _{0}^{T}RS(t)dt+\int _{0}^{T}v(t)S(t)dW^{*}(t)} であるとする。ただし W ∗ {\displaystyle W^{*}} はリスク中立確率測度下でのブラウン運動で、 v {\displaystyle v} は時間によって変動するボラティリティである。この時、伊藤の公式から log ⁡ S ( T ) = log ⁡ S ( 0 ) + ∫ 0 T ( R − v 2 ( t ) 2 ) d t + ∫ 0 T v ( t ) d W ∗ ( t ) = log ⁡ S ( 0 ) + R T − 1 2 ∫ 0 T v 2 ( t ) d t + ∫ 0 T v ( t ) d W ∗ ( t ) {\displaystyle \log S(T)=\log S(0)+\int _{0}^{T}\left(R-{\frac {v^{2}(t)}{2}}\right)dt+\int _{0}^{T}v(t)dW^{*}(t)=\log S(0)+RT-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt+\int _{0}^{T}v(t)dW^{*}(t)} となる。これを σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} に代入し、整理すれば σ 2 = E ∗ [ 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t ] − 2 T E ∗ [ ∫ 0 T v ( t ) d W ∗ ( t ) ] {\displaystyle \sigma ^{2}=E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]-{\frac {2}{T}}E^{*}\left[\int _{0}^{T}v(t)dW^{*}(t)\right]} が得られる。第2項は確率積分の期待値なので v {\displaystyle v} に妥当な仮定を課せばその値は0である。つまり次の結果が得られる。 σ 2 = E ∗ [ 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t ] {\displaystyle \sigma ^{2}=E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]} よって V I X T = 100 × E ∗ [ 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t ] {\displaystyle VIX_{T}=100\times {\sqrt {E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]}}} となる。したがってVIX指数は満期までの平均ボラティリティにリスク中立確率測度で期待値を取ったものを基準化した指数である。CBOEが発表しているVIX指数はS&P 500を原資産としたオプション価格と先渡価格から計算されるので、VIX指数はS&P 500のボラティリティに対するものとなる。またCBOEが発表しているVIX指数の満期は30日である。