積分因子を用いた常微分方程式の解法の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/26 14:15 UTC 版)
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次のような1階の線形常微分方程式を考える。 y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) ( 1 ) {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)\quad \quad \quad (1)} この方程式に対し、適当な積分因子 M ( x ) {\displaystyle M(x)} を (1) 式の両辺に掛け、左辺に積の微分の公式を適用できるようにすると、 M ( x ) y ′ + M ( x ) P ( x ) y = M ( x ) Q ( x ) ( 2 ) {\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (2)} ( M ( x ) y ) ′ = M ( x ) Q ( x ) ( 3 ) {\displaystyle (M(x)y)'=M(x)Q(x)\quad \quad \quad (3)} となるから、(3) 式を積分して y M ( x ) = ∫ Q ( x ) M ( x ) d x {\displaystyle yM(x)=\int Q(x)M(x)\,dx} となり、これよりもとの微分方程式の解として y = ∫ Q ( x ) M ( x ) d x M ( x ) {\displaystyle y={\frac {\int Q(x)M(x)\,dx}{M(x)}}\,} が得られる。 次に積分因子 M ( x ) {\displaystyle M(x)} を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるように M ( x ) {\displaystyle M(x)} をとっていることから、 M ′ ( x ) y + M ( x ) y ′ = M ( x ) y ′ + M ( x ) P ( x ) y {\displaystyle M'(x)y+M(x)y'=M(x)y'+M(x)P(x)y\quad \quad \quad } となり、 M ( x ) {\displaystyle M(x)} がつぎの微分方程式 M ′ ( x ) = M ( x ) P ( x ) ( 4 ) {\displaystyle M'(x)=M(x)P(x)\quad \quad \quad (4)\,} を満たすことがわかる。この式を変形すると、 M ′ ( x ) M ( x ) = P ( x ) ( 5 ) {\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}=P(x)\quad \quad \quad (5)\,} ( ln M ( x ) ) ′ = P ( x ) {\displaystyle (\ln M(x))'=P(x)} したがって M ( x ) = exp ( ∫ P ( x ) d x ) {\displaystyle M(x)=\exp \left(\int P(x)\,dx\right)} となる。
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