(x,y)-依存因子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/26 06:45 UTC 版)
「体球調和関数」の記事における「(x,y)-依存因子」の解説
次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると r m sin m θ cos m φ = 1 2 [ ( r sin θ e i φ ) m + ( r sin θ e − i φ ) m ] = 1 2 [ ( x + i y ) m + ( x − i y ) m ] {\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]} 同様に r m sin m θ sin m φ = 1 2 i [ ( r sin θ e i φ ) m − ( r sin θ e − i φ ) m ] = 1 2 i [ ( x + i y ) m − ( x − i y ) m ] . {\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].} これらより、次のように定義する。 A m ( x , y ) ≡ 1 2 [ ( x + i y ) m + ( x − i y ) m ] = ∑ p = 0 m ( m p ) x p y m − p cos ( m − p ) π 2 {\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}} B m ( x , y ) ≡ 1 2 i [ ( x + i y ) m − ( x − i y ) m ] = ∑ p = 0 m ( m p ) x p y m − p sin ( m − p ) π 2 . {\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}
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