z-依存因子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/26 06:45 UTC 版)
u = cos θ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。 d m P ℓ ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ γ ℓ k ( m ) u ℓ − 2 k − m {\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}} ここで γ ℓ k ( m ) = ( − 1 ) k 2 − ℓ ( ℓ k ) ( 2 ℓ − 2 k ℓ ) ( ℓ − 2 k ) ! ( ℓ − 2 k − m ) ! . {\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.} z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。 Π ℓ m ( z ) ≡ r ℓ − m d m P ℓ ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( ℓ − m ) / 2 ⌋ γ ℓ k ( m ) r 2 k z ℓ − 2 k − m . {\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}
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