物理学 と数学 において、体球調和関数 （たいきゅうちょうわかんすう、英 : solid harmonics ）は球面座標系 でのラプラス方程式 の解を指す。原点で0になる正則な（regular）体球調和関数
R
ℓ
m
(
r
)
{\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}
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±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x , y , z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば（球面座標で書かれた）原子軌道 や実数値の多重極モーメント（英語版 ） に現れ、重要である。以下でその導出を行う。
線形結合 先述と同じ定義で、
R
ℓ
m
(
r
,
θ
,
φ
)
=
(
−
1
)
(
m
+
|
m
|
)
/
2
r
ℓ
Θ
ℓ
|
m
|
(
cos
θ
)
e
i
m
φ
,
−
ℓ
≤
m
≤
ℓ
,
{\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}
ただし
Θ
ℓ
m
(
cos
θ
)
≡
[
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
]
1
/
2
sin
m
θ
d
m
P
ℓ
(
cos
θ
)
d
cos
m
θ
,
m
≥
0
,
{\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}
ここで
P
ℓ
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}
l 次のルジャンドル多項式 である。
この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相（Condon-Shortley phase）として知られている。
実の正則体球調和関数は次のように定義される。
(
C
ℓ
m
S
ℓ
m
)
≡
2
r
ℓ
Θ
ℓ
m
(
cos
m
φ
sin
m
φ
)
=
1
2
(
(
−
1
)
m
1
−
(
−
1
)
m
i
i
)
(
R
ℓ
m
R
ℓ
−
m
)
,
m
>
0.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}
また m = 0 に対しては
C
ℓ
0
≡
R
ℓ
0
.
{\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}
線形変換はユニタリ行列 によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。
z -依存因子u = cos θ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。
d
m
P
ℓ
(
u
)
d
u
m
=
∑
k
=
0
⌊
(
ℓ
−
m
)
/
2
⌋
γ
ℓ
k
(
m
)
u
ℓ
−
2
k
−
m
{\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}
ここで
γ
ℓ
k
(
m
)
=
(
−
1
)
k
2
−
ℓ
(
ℓ
k
)
(
2
ℓ
−
2
k
ℓ
)
(
ℓ
−
2
k
)
!
(
ℓ
−
2
k
−
m
)
!
.
{\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}
z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。
Π
ℓ
m
(
z
)
≡
r
ℓ
−
m
d
m
P
ℓ
(
u
)
d
u
m
=
∑
k
=
0
⌊
(
ℓ
−
m
)
/
2
⌋
γ
ℓ
k
(
m
)
r
2
k
z
ℓ
−
2
k
−
m
.
{\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}
(x ,y )-依存因子 次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると
r
m
sin
m
θ
cos
m
φ
=
1
2
[
(
r
sin
θ
e
i
φ
)
m
+
(
r
sin
θ
e
−
i
φ
)
m
]
=
1
2
[
(
x
+
i
y
)
m
+
(
x
−
i
y
)
m
]
{\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}
同様に
r
m
sin
m
θ
sin
m
φ
=
1
2
i
[
(
r
sin
θ
e
i
φ
)
m
−
(
r
sin
θ
e
−
i
φ
)
m
]
=
1
2
i
[
(
x
+
i
y
)
m
−
(
x
−
i
y
)
m
]
.
{\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}
これらより、次のように定義する。
A
m
(
x
,
y
)
≡
1
2
[
(
x
+
i
y
)
m
+
(
x
−
i
y
)
m
]
=
∑
p
=
0
m
(
m
p
)
x
p
y
m
−
p
cos
(
m
−
p
)
π
2
{\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}
B
m
(
x
,
y
)
≡
1
2
i
[
(
x
+
i
y
)
m
−
(
x
−
i
y
)
m
]
=
∑
p
=
0
m
(
m
p
)
x
p
y
m
−
p
sin
(
m
−
p
)
π
2
.
{\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}
まとめ
C
ℓ
m
(
x
,
y
,
z
)
=
[
(
2
−
δ
m
0
)
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
]
1
/
2
Π
ℓ
m
(
z
)
A
m
(
x
,
y
)
,
m
=
0
,
1
,
…
,
ℓ
{\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }
S
ℓ
m
(
x
,
y
,
z
)
=
[
2
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
]
1
/
2
Π
ℓ
m
(
z
)
B
m
(
x
,
y
)
,
m
=
1
,
2
,
…
,
ℓ
.
{\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}
低次の関数のリスト l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで
Π
¯
ℓ
m
(
z
)
≡
[
(
2
−
δ
m
0
)
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
]
1
/
2
Π
ℓ
m
(
z
)
.
{\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}
Π
¯
0
0
=
1
Π
¯
3
1
=
1
4
6
(
5
z
2
−
r
2
)
Π
¯
4
4
=
1
8
35
Π
¯
1
0
=
z
Π
¯
3
2
=
1
2
15
z
Π
¯
5
0
=
1
8
z
(
63
z
4
−
70
z
2
r
2
+
15
r
4
)
Π
¯
1
1
=
1
Π
¯
3
3
=
1
4
10
Π
¯
5
1
=
1
8
15
(
21
z
4
−
14
z
2
r
2
+
r
4
)
Π
¯
2
0
=
1
2
(
3
z
2
−
r
2
)
Π
¯
4
0
=
1
8
(
35
z
4
−
30
r
2
z
2
+
3
r
4
)
Π
¯
5
2
=
1
4
105
(
3
z
2
−
r
2
)
z
Π
¯
2
1
=
3
z
Π
¯
4
1
=
10
4
z
(
7
z
2
−
3
r
2
)
Π
¯
5
3
=
1
16
70
(
9
z
2
−
r
2
)
Π
¯
2
2
=
1
2
3
Π
¯
4
2
=
1
4
5
(
7
z
2
−
r
2
)
Π
¯
5
4
=
3
8
35
z
Π
¯
3
0
=
1
2
z
(
5
z
2
−
3
r
2
)
Π
¯
4
3
=
1
4
70
z
Π
¯
5
5
=
3
16
14
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}
低次の
A
m
(
x
,
y
)
{\displaystyle A_{m}(x,y)\,}
B
m
(
x
,
y
)
{\displaystyle B_{m}(x,y)\,}
m
A m
B m
0
1
{\displaystyle 1\,}
0
{\displaystyle 0\,}
1
x
{\displaystyle x\,}
y
{\displaystyle y\,}
2
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}\,}
2
x
y
{\displaystyle 2xy\,}
3
x
3
−
3
x
y
2
{\displaystyle x^{3}-3xy^{2}\,}
3
x
2
y
−
y
3
{\displaystyle 3x^{2}y-y^{3}\,}
4
x
4
−
6
x
2
y
2
+
y
4
{\displaystyle x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}\,}
4
x
3
y
−
4
x
y
3
{\displaystyle 4x^{3}y-4xy^{3}\,}
5
x
5
−
10
x
3
y
2
+
5
x
y
4
{\displaystyle x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}\,}
5
x
4
y
−
10
x
2
y
3
+
y
5
{\displaystyle 5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}\,}
参考文献
Steinborn, E. O.; Ruedenberg, K. (1973). “Rotation and Translation of Regular and Irregular Solid Spherical Harmonics”. Advances in quantum chemistry . 7 . Academic Press. pp. 1–82. ISBN 9780080582320 . Thompson, William J. (2004). Angular momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems . Weinheim: Wiley-VCH. pp. 143–148. ISBN 9783527617838 . 
![{\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13388066c5fd3eea6d64399921f8fda0c4b603b4)
![{\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfaaeda8183a142fac2257aca77d4eeddfdedd8e)
![{\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f6deaf3e35306497076b645b60a580e9e531b)
![{\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc083cb2e489bdc560a70776052a57de4b44c6b9)
![{\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5954bd84c06567915c93f57796b8783a8a2b3804)
![{\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e218d6cd24b3a1d1eae0acc9e4b8c013bc415114)
![{\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a401afd431809324850ed99499130be4c406cf4)
![{\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817884937d0ca0c4da9dfd90d2c5f5424482bbb7)
