導出および球面調和関数との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/26 06:45 UTC 版)
「体球調和関数」の記事における「導出および球面調和関数との関係」の解説
空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。 ∇ 2 Φ ( r ) = ( 1 r ∂ 2 ∂ r 2 r − l ^ 2 r 2 ) Φ ( r ) = 0 , r ≠ 0 , {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,} ここで l2 は無次元化した角運動量演算子 l ^ = − i ( r × ∇ ) {\displaystyle \mathbf {\hat {l}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } )} の2乗である。 知られているように、球面調和関数 Yml は演算子 l2 の固有関数である。 l ^ 2 Y ℓ m ≡ [ l ^ x 2 + l ^ y 2 + l ^ z 2 ] Y ℓ m = ℓ ( ℓ + 1 ) Y ℓ m . {\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{{\hat {l}}_{x}}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.} Φ(r) = F(r) Yml をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。 1 r ∂ 2 ∂ r 2 r F ( r ) = ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 F ( r ) ⟹ F ( r ) = A r ℓ + B r − ℓ − 1 . {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.} ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数 R ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 r ℓ Y ℓ m ( θ , φ ) , {\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),} であり、また一部が非正則な体球調和関数 I ℓ m ( r ) ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ( θ , φ ) r ℓ + 1 . {\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.} である。
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