座標時をパラメータとする等価な数学的表式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/03 19:29 UTC 版)
「一般相対性理論における測地線」の記事における「座標時をパラメータとする等価な数学的表式」の解説
ここまで、測地線の運動方程式はスカラーパラメータ s を用いて書かれていた。しかし、座標時 t ≡ x 0 {\displaystyle t\equiv x^{0}} を用いて書き下すことも可能である。（ここで三本線の等号は定義を表わす）。そうすると、測地線の運動方程式は次のように変形される。 d 2 x μ d t 2 = − Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu } \over \mathrm {d} t^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} t}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{\mu } \over \mathrm {d} t}} 測地線の運動方程式のこの表式はコンピュータ計算や、一般相対性理論とニュートン重力を比較する際に便利である。この形式を固有時をパラメータとする形式の測地線の運動方程式から導出するのは連鎖律を用いればすぐに可能である。この方程式の両辺は添字 μ が 0 のときは両辺が零の恒等式になることに気付く。もし、粒子の速度が十分に小さいならば、測地線方程式は次の式に帰着する。 d 2 x n d t 2 = − Γ n 00 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{n} \over \mathrm {d} t^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}} ここでローマ字の添字 n は [1,2,3] の値をとる。この方程式は単純に、ある特定の位置と時刻にある全ての試験粒子が一定の加速度を受けることを意味しており、これはニュートン重力における良く知られた性質である。例えば、ISS の周りに浮かぶ物体は全て、重力によって ISS とおおよそ同じ加速度を受ける。
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