座標束

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座標束

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/23 08:11 UTC 版)

「ファイバー束」の記事における「座標束」の解説

ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。 束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という。各座標近傍 Ua には同相写像 φa: Ua × F → π−1(Ua) が存在し、任意の x ∈ Ua および f ∈ F に対して π ∘ φa(x, f) = x を満たす。 この φa という同相写像によって Ua × F と π−1(Ua) はしばしば同一視される。座標束を説明する図を描くときも Ua × F という直積の図を π−1(Ua) とみなして説明することも少なくない。φa−1 を局所自明化という。 a を固定した F 上の φa, x: F → π−1(Ua) φa, x(f) = φa(x, f) という写像は、x ∈ Ua ∩ Ub に対して、 gba(x): F → F gba(x)(f) := φ −1b, x ∘ φa, x(f) を導く。 ここで、gba(x) ∈ G であり、 gba: Ua ∩ Ub → G は連続写像であるとし、G は位相変換群としてできるだけ要素の少ない小さいものをとるとする。 このような性質を持つ (E, π, B, G, {Ua, φa}a∈A) という組を座標束 (coordinate bundle) といい、F をファイバー、G を構造群 (structure group)、E を全空間、π を射影、B を底空間、φa を、座標関数 (coordinate function)、gba を座標変換 (coordinate transformation) という。 一般の束と違って、ファイバーは点に依らない位相空間である。正確には、任意の x ∈ B に対し x 上のファイバー Fx が、ファイバー F と同相となっている。そして各点での座標変換が、構造群という代数的な構造によって決まっているという点も重要である。