座標換算の簡略式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/27 05:52 UTC 版)
「ユニバーサル横メルカトル図法」の記事における「座標換算の簡略式」の解説
以下に掲げる座標換算式はドイツの数学者・測地学者であるヨハン・ハインリヒ・ルイ・クリューゲル（ドイツ語版）により初めて導出され1912年に発表されたもの が元となっており、展開式の初めの数項しか用いていない簡潔さでありながらも中央子午線から約3,000キロメートルの範囲内でミリメートル程度の精度を有している。日本語による導出の詳細な解説も与えられている。 地球楕円体の長半径を a {\displaystyle a\,\!} 、扁平率を f {\displaystyle f\,\!} とし、中央子午線の経度を λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} とするとき、地理緯度 φ {\displaystyle \,\varphi } 、経度 λ {\displaystyle \,\lambda } の点からUTM座標並びに縮尺係数 k {\displaystyle k\,\!} 及び子午線収差（ドイツ語版）角 γ {\displaystyle \gamma \,\!} を計算する。便宜上北半球においては南北座標に N 0 = 0 {\displaystyle N_{0}=0} km を、南半球においては N 0 = 10000 {\displaystyle N_{0}=10000} km をオフセット値として加える。併せて東西座標には E 0 = 500 {\displaystyle E_{0}=500} km をオフセット値として加え、 k 0 = 0.9996 {\displaystyle k_{0}=0.9996} とする。以下では、距離の単位は km とする。 換算式の表式に先立ち、幾つかの初期値を計算しておく： n = f 2 − f , A = a 1 + n ( 1 + n 2 4 + n 4 64 + ⋯ ) , {\displaystyle n={\frac {f}{2-f}},\quad A={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}+\cdots \right),} α 1 = 1 2 n − 2 3 n 2 + 5 16 n 3 , α 2 = 13 48 n 2 − 3 5 n 3 , α 3 = 61 240 n 3 , {\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},\,\,\,\alpha _{2}={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},\,\,\,\alpha _{3}={\frac {61}{240}}n^{3},} β 1 = 1 2 n − 2 3 n 2 + 37 96 n 3 , β 2 = 1 48 n 2 + 1 15 n 3 , β 3 = 17 480 n 3 , {\displaystyle \beta _{1}={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},\,\,\,\beta _{2}={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},\,\,\,\beta _{3}={\frac {17}{480}}n^{3},} δ 1 = 2 n − 2 3 n 2 − 2 n 3 , δ 2 = 7 3 n 2 − 8 5 n 3 , δ 3 = 56 15 n 3 . {\displaystyle \delta _{1}=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},\,\,\,\delta _{2}={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},\,\,\,\delta _{3}={\frac {56}{15}}n^{3}.}
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