座標変換式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/21 04:18 UTC 版)
階数 k のベクトル束 E → X と、近傍の対 U, V にそれぞれの局所自明化 φ U : U × R k → ≅ π − 1 ( U ) , φ V : V × R k → ≅ π − 1 ( V ) {\displaystyle \varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}{\stackrel {\cong }{{}\to {}}}\pi ^{-1}(U),\quad \varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}{\stackrel {\cong }{{}\to {}}}\pi ^{-1}(V)} が与えられているとき、U ∩ V 上で合成写像 φ V − 1 ∘ φ U : ( U ∩ V ) × R k → ( U ∩ V ) × R k {\displaystyle \varphi _{V}^{-1}\circ \varphi _{U}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}} は矛盾無く定まり、 φ V − 1 ∘ φ U ( x , v ) = ( x , g U V ( x ) v ) {\displaystyle \varphi _{V}^{-1}\circ \varphi _{U}(x,v)=(x,g_{UV}(x)v)} を満たす GL(k)-値写像 g U V : U ∩ V → GL ( k ) {\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k)} がとれる。このような写像を（U, V のとり方に依らず総称して）ベクトル束の遷移写像もしくは推移写像 (transition function) または座標変換 (coordinate transformation) という。 座標変換の全体は任意の U, V, W についてその局所自明化上で g U U ( x ) = I , g U V ( x ) g V W ( x ) g W U ( x ) = I {\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I} を満たすという意味で チェック・コサイクル（英語版） を成す。したがって、組 (E, X, π, Rk) はファイバー束を定める。このとき、座標変換 gUV の与える付加情報は、ファイバーの構造群が GL(k) であり、ファイバーへの作用が GL(k) の通常の作用として与えられることを示すものである。 逆に、ファイバー束 (E, X, π, Rk) がファイバー Rk 上に GL(k) の通常の作用によるコサイクル作用 (cocycle action) を持つならば、対応するベクトル束が存在する。このことを以ってベクトル束の定義とすることもある。
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