エネルギーと運動量の関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
「特殊相対性理論」の記事における「エネルギーと運動量の関係」の解説
詳細は「en:energy–momentum relation」を参照 4元運動量のミンコフスキー・ノルムは ‖ d p → d τ ‖ = m ‖ d x → d τ ‖ = m ‖ d x → ‖ d τ = m d s d τ = m c {\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|=m\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|=m{\frac {\|\mathrm {d} {\vec {x}}\|}{\mathrm {d} \tau }}=m{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \tau }}=mc} である。一方、慣性座標系を1つ固定して4元運動量を成分表示したとき、前に示したように、E = cp0 はエネルギーを表し、p = (p1, p2, p3) は運動量に対応していた。運動量の大きさを p = |p| とすると、E と p は以下の関係式を満たす： ( m c 2 ) 2 = ‖ c p → ‖ 2 = ( c p 0 ) 2 − | c p | 2 = E 2 − ( c p ) 2 . {\displaystyle (mc^{2})^{2}=\|c{\vec {p}}\|^{2}=(cp^{0})^{2}-|c{\boldsymbol {p}}|^{2}=E^{2}-(cp)^{2}.} 左辺は慣性系によらないので、E2 − (cp)2 は慣性系によらず一定値 (mc2)2 になることを意味する。 p ≪ mc であれば上の式は E = ( m c 2 ) 2 + ( c p ) 2 = m c 2 + p 2 2 m + ⋯ {\displaystyle E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+(cp)^{2}}}=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}+\cdots } となり、静止質量エネルギー mc2 を無視すれば、p2 / 2m が質点の運動エネルギーに相当するというニュートン力学の式に対応していることがわかる。
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