質点の運動エネルギー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 00:58 UTC 版)
「運動エネルギー」の記事における「質点の運動エネルギー」の解説
ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量と速さの二乗に比例する。つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は K = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}} で与えられる。 ニュートンの運動方程式が m d v d t = F ( t ) {\displaystyle m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}(t)} と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事 W t 0 → t 1 {\displaystyle W_{t_{0}\to t_{1}}} は、 W t 0 → t 1 = ∫ t 0 t 1 ( F ( t ) ⋅ d x d t ) d t = ∫ t 0 t 1 ( m d v d t ⋅ v ( t ) ) d t = ∫ t 0 t 1 d d t ( 1 2 m v ⋅ v ) d t = ∫ t 0 t 1 d K d t d t = K ( t 1 ) − K ( t 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}W_{t_{0}\to t_{1}}&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\boldsymbol {F}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dK}{dt}}\,dt\\&=K(t_{1})-K(t_{0})\end{aligned}}} となる。従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。 特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} から x + Δ x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}+\Delta {\boldsymbol {x}}} まで、 Δ x {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {x}}} だけ変化したとき、 1 2 m v 2 ( t 1 ) − 1 2 m v 2 ( t 0 ) = F ⋅ Δ x {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}} という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。 v 2 ( t 1 ) − v 2 ( t 0 ) = 2 α ⋅ Δ x . {\displaystyle v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}.}
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