質点系の角運動量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 08:14 UTC 版)
角運動量は加法的な量であり、系の全角運動量は、部分の角運動量の和であらわされる。質点系の全角運動量 L は、質点 i の角運動量を li とすれば L = ∑ i l i = ∑ i r i × p i {\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}{\boldsymbol {l}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {p}}_{i}} である。質量中心 rg に全質量 M があると考えたときの角運動量は L g = M r g × d r g d t {\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }=M{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }\times {\frac {d{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {g} }}{dt}}} となる。全角運動量と Lg の差は、質量中心からみた相対運動の角運動量とみなすことができる。 L r = L − L g {\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{\mathrm {r} }={\boldsymbol {L}}-{\boldsymbol {L}}_{\mathrm {g} }} 質点 i の角運動量の時間変化は、質点 i に作用する力のモーメント Ni = ri×Fi に等しく d l i d t = N i = r i × F i {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}={\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}} を満たす。ここで質点 i に作用する力 Fi を、外力 fi と、質点 j が及ぼす内部相互作用 fij に分ると、力のモーメントは N i = r i × ( f i + ∑ j f i j ) {\displaystyle {\boldsymbol {N}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{j}{\boldsymbol {f}}_{ij})} と表される。全角運動量の時間変化を考えると d L d t = ∑ i d l i d t = ∑ i r i × f i + ∑ i , j r i × f i j {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {l}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}+\sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}} となる。運動の第3法則から fji = −fij なので、内力のモーメントの和は ∑ i , j r i × f i j = 1 2 ∑ i , j ( r i × f i j − r i × f j i ) = 1 2 ∑ i , j ( r i − r j ) × f i j {\displaystyle \sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}-{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ji})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\times {\boldsymbol {f}}_{ij}} と変形できる。 ここで、内力が中心力であるならば、内力 fij は質点 i の質点 j から見た相対位置 ri − rj と平行で、内力のモーメントの和は 0 となる。このとき d L d t = ∑ i r i × f i {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}} となり、質点系の全角運動量の時間変化は作用する外力のモーメントの総和と等しくなる。
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