運動量演算子で表した並進演算子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 08:16 UTC 版)
「並進演算子 (量子力学)」の記事における「運動量演算子で表した並進演算子」の解説
ここまで ^p を並進演算子から定義した。逆に、並進演算子を ^p の関数として描くこともできる。並進演算子を N 分割し、その極限をとった無限小並進は ^p で表すことができる。 T ^ ( x ) = lim N → ∞ [ T ^ ( x N ) ] N = lim N → ∞ [ 1 − i x ⋅ p ^ N ℏ ] N {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})&=\lim _{N\to \infty }\left[{\hat {T}}\left({\frac {\boldsymbol {x}}{N}}\right)\right]^{N}\\&=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1-{\frac {i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}}{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}} よって最終的に得られる表現は、 T ^ ( x ) = exp ( − i x ⋅ p ^ ℏ ) = 1 − i x ⋅ p ^ ℏ − ( x ⋅ p ^ ) 2 2 ℏ 2 + i ( x ⋅ p ^ ) 3 6 ℏ 3 + ⋯ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})=\exp \left(-{\frac {i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}}{\hbar }}\right)=1-{\frac {i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}}{\hbar }}-{\frac {({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}})^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}})^{3}}{6\hbar ^{3}}}+\cdots } ここでexpは演算子の指数関数で、右辺はテイラー級数展開である。x が非常に小さなときは、次のように近似的に表せる。 T ^ ( x ) ≈ 1 − i x ⋅ p ^ / ℏ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})\approx 1-i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}/\hbar } よって運動量演算子は並進の生成子と言える。 これらの関係が正しいことを確認するには、位置空間の波動関数に作用する並進演算子をテイラー展開すれば良い。指数関数をすべての次数に展開すれば、 ψ ( r − x ) = T ^ ( x ) ψ ( r ) = exp ( − i x ⋅ p ^ ℏ ) ψ ( r ) = ( ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( − i ℏ x ⋅ p ^ ) n ) ψ ( r ) = ( ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( − x ⋅ ∇ ) n ) ψ ( r ) = ψ ( r ) − x ⋅ ∇ ψ ( r ) + 1 2 ! ( x ⋅ ∇ ) 2 ψ ( r ) − … {\displaystyle {\begin{aligned}\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})&={\hat {T}}({\boldsymbol {x}})\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\exp \left(-{\frac {i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}}{\hbar }}\right)\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}})^{n}\right)\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})^{n}\right)\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\psi ({\boldsymbol {r}})-{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi ({\boldsymbol {r}})+{\frac {1}{2!}}({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})^{2}\psi ({\boldsymbol {r}})-\dots \end{aligned}}} よってもし関数が複素平面のある領域において解析的であれば、すべての並進演算子は予想された関数の並進を生成する。
※この「運動量演算子で表した並進演算子」の解説は、「並進演算子 (量子力学)」の解説の一部です。
「運動量演算子で表した並進演算子」を含む「並進演算子 (量子力学)」の記事については、「並進演算子 (量子力学)」の概要を参照ください。
- 運動量演算子で表した並進演算子のページへのリンク
