位置空間と運動量空間
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物理学や幾何学では、密接に関連した2つのベクトル空間がある。これは通常は3次元であるが、一般的にはどんな有限次元の空間でもよい。
- ^ 2つの関数u, v の積の微分はd(uv) = udv + vduとなる。
- ^ Eisberg & Resnick 1985.
- ^ Hand & Finch 2008, p. 190.
- ^ a b Peleg et al. 2010.
- ^ Abers, E. (2004). Quantum Mechanics. Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0
- ^ a b R. Penrose (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1
位置空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/18 07:38 UTC 版)
位置空間のプロパゲーターは、クライン-ゴルドン方程式のグリーン函数である。このことは、位置空間のプロパゲーターが次の式を満たす函数 G(x,y) であることを意味する。 ( ◻ x + m 2 ) G ( x , y ) = − δ ( x − y ) {\displaystyle (\square _{x}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)} ここに、 x , y {\displaystyle x,y} は、ミンコフスキー時空の 2つの点 ◻ x = ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \square _{x}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}} は x {\displaystyle x} 座標上に作用する ダランベール演算子(d'Alembertian operator) δ ( x − y ) {\displaystyle \delta (x-y)} はディラックのデルタ函数 とする。（相対論的な場の量子論の計算の典型として、光速 c は 1 であるという単位系を使う。） 空間を 4次元のミンコフスキー時空へ制限すると、プロパゲーターの式のフーリエ変換が可能となり、次の式を得る。 ( − p 2 + m 2 ) G ( p ) = − 1 . {\displaystyle \,(-p^{2}+m^{2})G(p)=-1~.} この式は、方程式 xf(x)=1 は、ε がゼロとなる極限で、解 f ( x ) = 1 / ( x ± i ϵ ) = 1 / x ± i π δ ( x ) {\displaystyle f(x)=1/(x\pm i\epsilon )=1/x\pm i\pi \delta (x)} となることに注意すると、シュワルツ超函数の意味で式を置き換えることが可能である。以下の議論では、因果律から要求される符号を正しく選択する。解は、 G ( x , y ) = 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) p 2 − m 2 ± i ϵ {\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\epsilon }}} であり、ここに p ( x − y ) := p 0 ( x 0 − y 0 ) − p → ⋅ ( x → − y → ) {\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})} は4元ベクトルの内積である。 上記の表現で積分路（英語版）の変形がどのようにするかにより異なる選択が可能であるが、この選択によりプロパゲーターの形も異なることとなる。積分路の選択は普通、 p 0 {\displaystyle p_{0}} の積分の項の中に記述される。 従って、非積分函数は p 0 = ± p → 2 + m 2 {\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}} で 2つの極を持ち、どのようにして異なるプロパゲーターとなることを避けるのかの選択が難しい。
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