L2(Rd) における位置と運動量に関する不確定性原理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 08:40 UTC 版)
「不確定性原理」の記事における「L2(Rd) における位置と運動量に関する不確定性原理」の解説
d次元空間Rd上の自乗可積分関数全体の空間 L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} におけるj番目の位置作用素と運動量作用素 Q ^ j ψ ( x ) = x j ψ ( x ) P ^ j ψ ( x ) = − i ℏ ∂ ∂ x j ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {Q}}_{j}\psi (x)&=x_{j}\psi (x)\\{\hat {P}}_{j}\psi (x)&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (x)\end{aligned}}} に関しては、ψの定義域に関する条件を弱めることができる事が知られている。 すなわち状態空間が H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} であるとき、 ψ ∈ D o m ( Q ^ j ) ∩ D o m ( P ^ j ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {Q}}_{j})\cap \mathrm {Dom} ({\hat {P}}_{j})} であれば、 ( Δ ψ Q ^ j ) 2 ( Δ ψ P ^ j ) 2 ≥ ℏ 2 {\displaystyle (\Delta _{\psi }{\hat {Q}}_{j})^{2}(\Delta _{\psi }{\hat {P}}_{j})^{2}\geq {\frac {\hbar }{2}}} が成立するH13(p246,248)。 なお、 D o m ( Q ^ j ) = { ψ ∈ L 2 ( R d ) | ∫ R d x j 2 ψ ( x ) 2 d x < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {Q}}_{j})={\Bigg \{}\psi \in L^{2}(\mathbf {R} ^{d}){\Bigg |}\int _{\mathbf {R} ^{d}}x_{j}{}^{2}\psi (x){}^{2}\mathrm {d} x<\infty {\Bigg \}}} D o m ( P ^ j ) = { ψ ∈ L 2 ( R d ) ∣ ψ ( x ) {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {P}}_{j})=\{\psi \in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\mid \psi (x)} の偏微分 ∂ ψ ∂ x j ( x ) {\displaystyle {\partial \psi \over \partial x_{j}}(x)} が定義可能 } {\displaystyle \}} である。ここで「偏微分可能」は通常の意味の偏微分が可能である事を含むのはもちろん、弱微分の意味での偏微分が可能であるものも許容する。 証明は引用文献H13のp246~248を参照されたい。
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