相対論的粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/23 02:25 UTC 版)
「エネルギー・運動量テンソル」の記事における「相対論的粒子」の解説
相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は S [ g , X , γ ] = 1 2 ∫ ∑ i ( 1 γ i 2 g μ ν ( X i ) X ˙ i μ X ˙ i ν − m i 2 c 2 ) γ i ( λ ) d λ = 1 2 ∫ d 4 x ∫ ∑ i ( 1 γ i 2 g μ ν ( x ) X ˙ i μ X ˙ i ν − m i 2 c 2 ) δ 4 ( X i − x ) γ i ( λ ) d λ {\displaystyle {\begin{aligned}S[g,X,\gamma ]&={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(X_{i})\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(x)\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\gamma _{i}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\end{aligned}}} であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが T μ ν ( x ) = 2 c − g δ S [ g , X , γ ] δ g μ ν ( x ) = c − g ∫ ∑ i 1 γ i X ˙ i μ X ˙ i ν δ 4 ( X i − x ) d λ {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[g,X,\gamma ]}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}={\frac {c}{\sqrt {-g}}}\int \sum _{i}{\frac {1}{\gamma _{i}}}{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\mathrm {d} \lambda } と導かれる。補助変数 γi から導かれる拘束条件 γ = 1 m i d τ i d λ {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{m_{i}}}{\frac {\mathrm {d} \tau _{i}}{\mathrm {d} \lambda }}} を用いれば T μ ν ( x ) = 1 − g ∑ i m i c ∫ u i μ u i ν δ 4 ( X i − x ) d τ i {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\sum _{i}m_{i}c\int u_{i}^{\mu }u_{i}^{\nu }\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\mathrm {d} \tau _{i}} となる。
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「相対論的粒子」の例文・使い方・用例・文例
- 相対論的粒子からの放射
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