作用汎関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/22 14:52 UTC 版)
最も一般的には、時間と（場の作用に関しては）空間の関数に対するスカラー値の汎関数 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を作用と呼ぶ。 古典力学において、作用汎関数に与えられる関数は初期時刻 ti と終端時刻 tf の間の系の経路 q(t) である。ここで q は一般化座標である。作用 S [ q ( t ) ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}(t)]} は初期時刻 ti と終端時刻 tf の間のラグランジアン L の時間積分 S [ q ( t ) ] = ∫ t i t f L [ q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ] d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}(t)]=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}L[{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t),t]\,\mathrm {d} t} として定義される。 また上記の定義に加え補助的な境界条件として、初期時刻および終端時刻における系の一般化座標 q(t) はそれぞれ q(ti) = qi, q(tf) = qf と固定される。最小作用の原理に従えば、実現される経路 qtrue(t) は作用 S [ q ( t ) ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[{\boldsymbol {q}}(t)]} の停留点（最小点、最大点、もしくは鞍点）である。上記の作用に対する最小作用の原理は、ラグランジュ力学における運動方程式、すなわちオイラー＝ラグランジュ方程式を与える。
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作用汎関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/09 03:48 UTC 版)
作用汎関数 S[φ] は、力学系の運動状態を指定する力学変数 φ(x) を引数にとる汎関数として与えられる。最小作用の原理から導かれる運動方程式は、汎関数微分により δ S [ ϕ ] δ ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[\phi ]}{\delta \phi (x)}}=0} で書かれる。
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