ハイゼンベルク群によるフォン・ノイマンの一意性定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ハイゼンベルク群によるフォン・ノイマンの一意性定理」の解説
まずフォン・ノイマンの一意性定理の仮定をハイゼンベルク群を用いて表現する。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、 U ( H ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})} を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ作用素全体の集合とする。 Π : H d → U ( H ) {\displaystyle \Pi ~:~\mathbf {H} _{d}\to {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})} を Π ( I → ) = i ℏ I {\displaystyle \Pi ({\vec {I}})=i\hbar I} を満たす強連続な写像とし、さらに A j := Π ( Q → j ) , B j := Π ( P → j ) {\displaystyle A_{j}:=\Pi ({\vec {Q}}_{j}),\quad B_{j}:=\Pi ({\vec {P}}_{j})} とする。するとフォン・ノイマンの一意性定理の条件であるヴァイルの関係式は、Πが準同型である事を意味している。すなわちヴァイルの関係式を満たすΠはハイゼンベルク群の強連続なユニタリ表現である。このように見た時、ヴァイル表現に関する規約性の条件は、このヴァイル表現が規約である事と同値である。なお、ハイゼンベルク群のニタリ表現の事をシュレディンガー表現というZ13(p3)。 一方、フォン・ノイマンの一意性定理の結論部分は、このユニタリ表現が同型を除いて一意であり、その唯一のユニタリ表現による Q → j , P → k {\displaystyle {\vec {Q}}_{j},~{\vec {P}}_{k}} の像がそれぞれ まとめると、以下の結論が得られるW(p3)： 定理 ― 強連続なシュレディンガー表現 Π : H d → U ( H ) {\displaystyle \Pi ~:~\mathbf {H} _{d}\to {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})} で Π ( I → ) = i ℏ I {\displaystyle \Pi ({\vec {I}})=i\hbar I} を満たすものは、同型を除いて１つしか存在しない。必要ならΠを同型なものと取り替えると、 Q j := Π ( Q → j ) , P j := Π ( P → j ) {\displaystyle Q_{j}:=\Pi ({\vec {Q}}_{j}),\quad P_{j}:=\Pi ({\vec {P}}_{j})} が成立する。ここで Q j {\displaystyle Q_{j}} 、 P j {\displaystyle P_{j}} はそれぞれ位置作用素、運動量作用素である。
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