ヴァイルの関係式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ヴァイルの関係式」の解説
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素 A j , B k j , k = 1 , … , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} に対し、正準交換関係を指数関数の上に乗せた下記の式をヴァイルの関係式という新井(p230)H13(p284)： ∀ j , k = 1 , … , d , ∀ s , t ∈ R : {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d,\forall s,t\in \mathbf {R} ~:~} e x p ( − i s A j ) e x p ( − i t B k ) e x p ( i s A j ) e x p ( i t B j ) = e x p ( i ℏ δ j , k ) , {\displaystyle \mathrm {exp} (-isA_{j})\mathrm {exp} (-itB_{k})\mathrm {exp} (isA_{j})\mathrm {exp} (itB_{j})=\mathrm {exp} (i\hbar \delta _{j,k}),} e x p ( − i s A j ) e x p ( − i t A k ) e x p ( i s A j ) e x p ( i t A j ) = I , {\displaystyle \mathrm {exp} (-isA_{j})\mathrm {exp} (-itA_{k})\mathrm {exp} (isA_{j})\mathrm {exp} (itA_{j})=I,} e x p ( − i s B j ) e x p ( − i t B k ) e x p ( i s B j ) e x p ( i t B j ) = I . {\displaystyle \mathrm {exp} (-isB_{j})\mathrm {exp} (-itB_{k})\mathrm {exp} (isB_{j})\mathrm {exp} (itB_{j})=I.} 通常の正準交換関係の場合には、 A j , B k {\displaystyle A_{j},B_{k}} の定義域の共通部分が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密でないとそもそも交換子が定義できないという問題を抱えていたが、ヴァイルの関係式の場合、 A j , B k {\displaystyle A_{j},B_{k}} を指数関数の上に乗せた結果出来上がるユニタリ変換を取り扱っており、しかもBLT定理よりこれらのユニタリ変換の定義域は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 全体であるので、こうした定義域の問題は起こらない。 正準交換関係をヴァイル関係式で表す事を、正準交換関係のヴァイル表現という。なお、一般には通常の正準交換関係よりもヴァイルの関係式の方が強い制約条件であり、両者は同値ではない。
※この「ヴァイルの関係式」の解説は、「量子力学の数学的定式化」の解説の一部です。
「ヴァイルの関係式」を含む「量子力学の数学的定式化」の記事については、「量子力学の数学的定式化」の概要を参照ください。
- ヴァイルの関係式のページへのリンク
