ハイゼンベルクリー環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ハイゼンベルクリー環」の解説
ハイゼンベルク群が量子力学で重要なのは、対応するリー環（ハイゼンベルクリー環）が正準交換関係（で ℏ = 1 {\displaystyle \hbar =1} にしたもの）を満たすからである。すなわち、d次のハイゼンベルクリー環は、 h d = R d × R d × R {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{d}=\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} } と表記でき、j=1,…,dのとき、j=d+1,…,2dのとき、j=2d+1のときそれぞれ、座標軸 ( 0 , … , 0 , 1 ˇ j , 0 , … , 0 ) {\displaystyle (0,\ldots ,0,{\overset {j}{\check {1}}},0,\ldots ,0)} の事を P → j {\displaystyle {\vec {P}}_{j}} 、 Q → j {\displaystyle {\vec {Q}}_{j}} 、 I → {\displaystyle {\vec {I}}} と書くと、これらのリー・ブラケットは ∀ j , k = 1 , … , d : [ Q → j , P → k ] = δ j , k I → , {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~:~[{\vec {Q}}_{j},{\vec {P}}_{k}]=\delta _{j,k}{\vec {I}},\quad } [ Q → j , Q → k ] = 0 , [ P → j , P → k ] = 0 {\displaystyle [{\vec {Q}}_{j},{\vec {Q}}_{k}]=0,\quad [{\vec {P}}_{j},{\vec {P}}_{k}]=0} を満たすW(p1-3)。
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