ハイゼンベルクの方程式とシュレーディンガー方程式の等価性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 08:04 UTC 版)
「ハイゼンベルク描像」の記事における「ハイゼンベルクの方程式とシュレーディンガー方程式の等価性」の解説
シュレーディンガー描像において、^A を可観測量である(線形なエルミート演算子である)とすると、^A のある状態 |ψ⟩ における期待値は下のように求められる。 ⟨ A ^ ⟩ t = ⟨ ψ ( t ) | A ^ | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}=\langle \psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle .} また、シュレーディンガー方程式の形式解 | ψ ( t ) ⟩ = e − i H ^ t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle } を用いれば、物理量の期待値は、 ⟨ A ^ ⟩ t = ⟨ ψ ( 0 ) | e i H ^ t / ℏ A ^ e − i H ^ t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle .} よってハイゼンベルク描像において、状態は時間によらず常に |ψ(0)⟩ であると定義し、物理量を表す演算子を次のように定義すれば、シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像とでは、物理量の期待値 |ψ(t)⟩ は等しくなる。つまりシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像は時間発展について等価な理論になる。 A ^ ( t ) := e i H ^ t / ℏ A ^ e − i H ^ t / ℏ . {\displaystyle {\hat {A}}(t):=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }.} すると ^A(t) の時間依存性は、 d d t A ^ ( t ) = i ℏ H e i H ^ t / ℏ A ^ e − i H ^ t / ℏ + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical + i ℏ e i H ^ t / ℏ A ^ ( − H ^ ) e − i H ^ t / ℏ = i ℏ e i H ^ t / ℏ ( H ^ A ^ − A ^ H ^ ) e − i H ^ t / ℏ + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical = i ℏ ( H ^ A ^ ( t ) − A ^ ( t ) H ^ ) + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical = i ℏ [ H ^ , A ^ ( t ) ] + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {A}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}+{\frac {i}{\hbar }}e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}(-{\hat {H}})e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{i{\hat {H}}t/\hbar }({\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}})e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}\\&={\frac {i}{\hbar }}({\hat {H}}{\hat {A}}(t)-{\hat {A}}(t){\hat {H}})+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}.\end{aligned}}} よってシュレーディンガー方程式から、次のハイゼンベルクの運動方程式が得られた。 d d t A ^ ( t ) = i ℏ [ H ^ , A ^ ( t ) ] + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical . {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\hat {A}}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}.} 関係式 e B ^ A ^ e − B ^ = A ^ + [ B ^ , A ^ ] + 1 2 ! [ B ^ , [ B ^ , A ^ ] ] + 1 3 ! [ B ^ , [ B ^ , [ B ^ , A ^ ] ] ] + ⋯ {\displaystyle {e^{\hat {B}}{\hat {A}}e^{-{\hat {B}}}}={\hat {A}}+[{\hat {B}},{\hat {A}}]+{\frac {1}{2!}}[{\hat {B}},[{\hat {B}},{\hat {A}}]]+{\frac {1}{3!}}[{\hat {B}},[{\hat {B}},[{\hat {B}},{\hat {A}}]]]+\cdots } を使うと、時間依存な可観測量 ^A(t) について下を得る。 A ^ ( t ) = A ^ + i t ℏ [ H ^ , A ^ ] − t 2 2 ! ℏ 2 [ H ^ , [ H ^ , A ^ ] ] − i t 3 3 ! ℏ 3 [ H ^ , [ H ^ , [ H ^ , A ^ ] ] ] + ⋯ . {\displaystyle {\hat {A}}(t)={\hat {A}}+{\frac {it}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[{\hat {H}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[{\hat {H}},[{\hat {H}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]]+\cdots .} 交換子をポアソン括弧に置き換えると、この関係式は古典力学でも成り立つ。
※この「ハイゼンベルクの方程式とシュレーディンガー方程式の等価性」の解説は、「ハイゼンベルク描像」の解説の一部です。
「ハイゼンベルクの方程式とシュレーディンガー方程式の等価性」を含む「ハイゼンベルク描像」の記事については、「ハイゼンベルク描像」の概要を参照ください。
- ハイゼンベルクの方程式とシュレーディンガー方程式の等価性のページへのリンク
