固有値・固有ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
それぞれのパウリ行列は、固有値 +1 と −1 を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、 | σ 1 , + ⟩ = 1 2 [ 1 1 ] , | σ 1 , − ⟩ = 1 2 [ 1 − 1 ] | σ 2 , + ⟩ = 1 2 [ 1 i ] , | σ 2 , − ⟩ = 1 2 [ 1 − i ] | σ 3 , + ⟩ = [ 1 0 ] , | σ 3 , − ⟩ = [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&|\sigma _{1,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\qquad &|\sigma _{1,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{2,+}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&&|\sigma _{2,-}\rangle ={}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\&|\sigma _{3,+}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&&|\sigma _{3,-}\rangle ={}&&{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{alignedat}}} である。
※この「固有値・固有ベクトル」の解説は、「パウリ行列」の解説の一部です。
「固有値・固有ベクトル」を含む「パウリ行列」の記事については、「パウリ行列」の概要を参照ください。
固有値・固有ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
「ベクトル空間」の記事における「固有値・固有ベクトル」の解説
詳細は「固有値」を参照 自己準同型写像、即ち線型写像 f : V → V は、この場合ベクトル v とその f による像 f(v) とを比較することができるから、特に重要である。 任意の零でないベクトル v が、スカラー λ に対して λv = f(v) を満足するとき、これを f の固有値 (英: eigenvalue ) λ に属する固有ベクトル (英: eigenvector ) という。同じことだが、固有ベクトル v は差 f − λ · Id の核の元である（ここで Id は恒等写像 V → V）。V が有限次元ならば、これは行列式を使って言い換えることができる。つまり、f が固有値 λ を持つことは det(f − λ · Id) = 0 となることと同値である。行列式の定義を書き下すことにより、この式の左辺は λ を変数とする多項式と見ることができて、これを f の固有多項式と呼ぶ。係数体 F がこの多項式の根を含む程度に大きい（F = C のように、F が代数閉体ならばこの条件は自動的に満たされる）ならば任意の線型写像は少なくとも一つの固有ベクトルを持つ。 ベクトル空間 V は固有基底（固有ベクトルからなる基底）を持つかもしれないし持たないかもしれないが、それがどちらであるかは写像のジョルダン標準形によって制御される。f の特定の固有値 λ に属する固有ベクトル全体の成す集合は、固有値 λ（と f）に対応する固有空間と呼ばれるベクトル空間を成す。無限次元の場合の対応する主張であるスペクトル定理に達するには、函数解析学の道具立てが必要である。
※この「固有値・固有ベクトル」の解説は、「ベクトル空間」の解説の一部です。
「固有値・固有ベクトル」を含む「ベクトル空間」の記事については、「ベクトル空間」の概要を参照ください。
固有値・固有ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/04 22:58 UTC 版)
「マクスウェルの応力テンソル」の記事における「固有値・固有ベクトル」の解説
真空中でのマクスウェルの応力テンソルTの固有値λは次式となる。 { λ } = { − ϵ 0 E 2 + B 2 / μ 0 2 , ± ( ϵ 0 E 2 − B 2 / μ 0 2 ) 2 + ( ϵ 0 μ 0 E ⋅ B ) 2 } {\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/\mu _{0}}{2}},~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/\mu _{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}} また、電場E(または磁場B)のみの場合、固有値λと固有ベクトルvは次式となる。 { λ } = { − ϵ 0 E 2 2 , − ϵ 0 E 2 2 , + ϵ 0 E 2 2 } {\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}},~-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}},~+{\frac {\epsilon _{0}E^{2}}{2}}\right\}} { v } = { E × E y , − E × E z , E E x } {\displaystyle \{{\boldsymbol {v}}\}=\left\{{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {E}}_{y},~-{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {E}}_{z},~{\boldsymbol {E}}E_{x}\right\}}
※この「固有値・固有ベクトル」の解説は、「マクスウェルの応力テンソル」の解説の一部です。
「固有値・固有ベクトル」を含む「マクスウェルの応力テンソル」の記事については、「マクスウェルの応力テンソル」の概要を参照ください。
- 固有値・固有ベクトルのページへのリンク
