固有値は整数とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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固有値は整数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/09 10:12 UTC 版)

「数演算子」の記事における「固有値は整数」の解説

数演算子の固有値は整数である。証明固有値 N {\displaystyle N} が整数でないとする。上述のように、ある固有値 N {\displaystyle N} に対する固有ベクトル | N ⟩ {\displaystyle |N\rangle } に消滅演算子を作用させると | N − 1 ⟩ {\displaystyle |N-1\rangle } ができる。 a ^ | N ⟩ = N | N − 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle } よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは N < 0 {\displaystyle N<0} である | N ⟩ {\displaystyle |N\rangle } が作れてしまい、 N {\displaystyle N} の非負性と矛盾する。固有値 N {\displaystyle N} が整数だと、 N = 0 {\displaystyle N=0} に対する固有ベクトル | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、 N < 0 {\displaystyle N<0} の | N ⟩ {\displaystyle |N\rangle } が作れないことがわかる。 a ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0} よって N {\displaystyle N} の非負性と整合している。よって数演算子の固有値は非負の整数である。

※この「固有値は整数」の解説は、「数演算子」の解説の一部です。
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