固有値は非負
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/09 10:12 UTC 版)
数演算子の固有値方程式は、 N ^ | N ⟩ = N | N ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle } この固有値 N {\displaystyle N} は非負である。 証明固有値方程式 N ^ | N ⟩ = N | N ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle } の左から ⟨ N | {\displaystyle \langle N|} をかけると、 ⟨ N | N ^ | N ⟩ = N ⟨ N | N ⟩ {\displaystyle \langle N|{\hat {N}}|N\rangle =N\langle N|N\rangle } 数演算子の定義 N ^ ≡ a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} 、固有ベクトルの規格化 ⟨ N | N ⟩ = 1 {\displaystyle \langle N|N\rangle =1} を代入すると、 ⟨ N | a ^ † a ^ | N ⟩ = N {\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =N} ⟨ N | a ^ † a ^ | N ⟩ = | | ( a ^ | N ⟩ ) | | 2 ≥ 0 {\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}\geq 0}
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