固有値との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/23 04:18 UTC 版)
対称行列(またはエルミート行列) A の定値性は固有値の符号と関係している。「すべての固有値の符号」がわかれば定値性がわかり、逆に定値性がわかれば「すべての固有値の符号」が正なのか負なのか正負混じっているのかなどが以下のようにわかる。 すべての固有値λが正値 λ > 0 ⇔ 行列 A は正定値行列 すべての固有値λが非負値 λ ≧ 0 ⇔ 行列 A は半正定値行列 すべての固有値λが負値 λ < 0 ⇔ 行列 A は負定値行列 すべての固有値λが非正値 λ ≦ 0 ⇔ 行列 A は半負定値行列 少なくとも１つの正値の固有値λpが存在し、かつ少なくとも１つの負値の固有値λnが存在する ⇔ 行列 A は不定値行列
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固有値との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
行列 A の固有値を λi (i = 1, …, n) と置くと、 det ( A ) = ∏ k = 1 n λ k {\displaystyle \det(A)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}\lambda _{k}} となる。このことは、A を三角化すると、対角成分に固有値が並ぶこと、すなわち P − 1 A P = [ λ 1 ∗ λ 2 ⋱ λ n − 1 λ n ] {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&&&&*\\&\lambda _{2}&&&\\&&\ddots &&\\&&&\lambda _{n-1}&\\&&&&\lambda _{n}\end{bmatrix}}} の両辺の det を取ることで得られる。
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