固有ベクトルへの消滅演算子の作用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/09 10:12 UTC 版)
「数演算子」の記事における「固有ベクトルへの消滅演算子の作用」の解説
数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、 a ^ | N ⟩ = N | N − 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle } 証明 [ N ^ , a ^ ] = − a ^ {\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}} の両辺に | N ⟩ {\displaystyle |N\rangle } をかけると、 N ^ a ^ | N ⟩ − a ^ N ^ | N ⟩ = − a ^ | N ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle -{\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle =-{\hat {a}}|N\rangle } N ^ a ^ | N ⟩ = a ^ N ^ | N ⟩ − a ^ | N ⟩ = a ^ N | N ⟩ − a ^ | N ⟩ = ( N − 1 ) a ^ | N ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle &={\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&={\hat {a}}N|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&=(N-1){\hat {a}}|N\rangle \\\end{aligned}}} この式は、 N ^ {\displaystyle {\hat {N}}} の固有値 N − 1 {\displaystyle N-1} に対する固有ベクトル | N − 1 ⟩ {\displaystyle |N-1\rangle } が a ^ | N ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle } であることを言っている。 ただし a ^ | N ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle } は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。 a ^ | N ⟩ = c | N − 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle =c|N-1\rangle } 上述の | | ( a ^ | N ⟩ ) | | 2 = N {\displaystyle ||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}=N} に代入すると | c | 2 = N {\displaystyle |c|^{2}=N} なので、正に選べば c = N {\displaystyle c={\sqrt {N}}} a ^ | N ⟩ = N | N − 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }
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