ゲルファントの三つ組
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ゲルファントの三つ組」の解説
ゲルファントの三つ組の定義の基本的な雛形は、（緩増加）超関数の概念である。そこで、まず、緩増加超関数の定義を振り返る。今シュワルツ空間 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} からヒルベルト空間 H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} へは自然な単射 ι : S ( R d ) ↪ H {\displaystyle \iota ~:~{\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\hookrightarrow {\mathcal {H}}} が存在する。 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} に対し、写像ι†(ψ)を ι † ( ψ ) : S ( R d ) → C , {\displaystyle \iota ^{\dagger }(\psi )~:~{\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\to \mathbf {C} ,~~} φ ↦ ⟨ ψ , ι ( φ ) ⟩ {\displaystyle \varphi \mapsto \langle \psi ,\iota (\varphi )\rangle } と定義すると、 ι † ( ψ ) ∈ S ′ ( R d ) {\displaystyle \iota ^{\dagger }(\psi )\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} なので、写像 ι † : H ↪ S ′ ( R d ) , {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d}),~~} ψ ↦ ι † ( ψ ) {\displaystyle \psi \mapsto \iota ^{\dagger }(\psi )} を定義する事ができ、ι†は反線形写像となる。
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