ゲルファントの三つ組に関する諸概念
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ゲルファントの三つ組に関する諸概念」の解説
先に進む前にゲルファントの三つ組に関する諸概念を定義する。 定義 ― G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元は G {\displaystyle {\mathcal {G}}} の線形写像なので、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元Tと G {\displaystyle {\mathcal {G}}} の元ψの内積を ⟨ T , ψ ⟩ := T ( ψ ) {\displaystyle \langle T,\psi \rangle :=T(\psi )} によって定義する。 φを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元とするとき、 ⟨ ι † ( φ ) , ψ ⟩ = ι † ( φ ) ( ψ ) = ⟨ φ , ι ( ψ ) ⟩ = ⟨ φ , ι ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle \iota ^{\dagger }(\varphi ),\psi \rangle =\iota ^{\dagger }(\varphi )(\psi )=\langle \varphi ,\iota (\psi )\rangle =\langle \varphi ,\iota (\psi )\rangle } となるので、上述した内積は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の内積と両立する。 定義 ― G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の点列{φn}nと G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元φが全ての g ∈ G {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} に対し ϕ n ( g ) → ϕ ( g ) {\displaystyle \phi _{n}(g)\to \phi (g)} を満たすとき、{φn}nはφに収束するというF15(p117)。 言い換えるとこれは G ″ {\displaystyle {\mathcal {G}}''} にはweak-*位相を入れたものを考えるという事である。
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