ブラ-ケットベクトルによる解釈
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「ブラ-ケットベクトルによる解釈」の解説
写像 ι † : H ↪ G ′ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'} は反線形な埋め込み写像なので、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の共役線形空間をそれぞれ H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} 、 G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} とすると、 ι † : H ∗ ↪ G ′ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}^{*}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'} ι † : H ↪ G ′ ∗ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'^{*}} はいずれも線形な埋め込みとなる。 物理学的に見た場合、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、 H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} はそれぞれブラベクトル、ケットベクトルの空間であったので、それを含んでいる G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} 、 G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} もやはり（一般化された意味での）ブラベクトル、ケットベクトルの空間とみなすことにする。 既に述べたように、連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} や H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} の中には存在しなかった。そこでブラベクトル、ケットベクトルの空間を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} や H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} より広い空間である G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} や G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} へと拡張し、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} や G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} から連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を探す、というのがゲルファントの三つ組の基本的なアイデアである。 とくに G = S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} である場合は、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} は緩増加超関数の空間 S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} に一致するので、「固有ベクトル」として G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} からデルタ超関数を選ぶ事ができる。したがってこの場合は、ゲルファントの三つ組のアイデアはディラックの元々のアイデアと合致する。
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