一般化リーマン＝スティルチェス積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:13 UTC 版)
「リーマン＝スティルチェス積分」の記事における「一般化リーマン＝スティルチェス積分」の解説
上記を少し一般化したものがPollard (1920)で導入され、現在の解析学ではそちらのほうが普通となっている。分割 P が別の分割 Pε の細分であるとは、単に P より目の細かい分割を考えるというだけではなく、P が Pε に分点を追加して得られることを意味するものとする。函数 f の g に関する一般化リーマン＝スティルチェス積分の値が A であるとは、任意の正数 ε > 0 に対して分割 Pε を適当に選べば、Pε の任意の細分 P に対して、代表点 ci ∈ [xi, xi+1] の選び方に依らず | S ( P , f , g ) − A | < ε {\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon } が満たされるようにできることを言う。 この一般化は、一般化リーマンスティルチェス積分が閉区間 [a, b] の分割全体の成す有向集合上のムーア＝スミス極限として得られることを示すものになっている (McShane 1952)。Hildebrandt (1938)はこれをポラール＝ムーア＝スティルチェス積分 (Pollard–Moore–Stieltjes integral) と呼んでいる。
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