ダルブー＝スティルチェス積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:13 UTC 版)
「リーマン＝スティルチェス積分」の記事における「ダルブー＝スティルチェス積分」の解説
リーマン＝スティルチェス積分はダルブー積分の適当な一般化（ダルブー＝スティルチェス積分）としてもきちんと扱うことができる。分割 P に対して、函数 f の函数 g に関する上ダルブー（＝スティルチェス）和 U ( P , f , g ) = ∑ i = 0 n − 1 M i ( g ( x i + 1 ) − g ( x i ) ) ( M i := sup x i ≤ x ≤ x i + 1 f ( x ) ) {\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}M_{i}(g(x_{i+1})-g(x_{i}))\quad (M_{i}:=\sup _{x_{i}\leq x\leq x_{i+1}}f(x))} およびおよび下ダルブー（＝スティルチェス）和 L ( P , f , g ) = ∑ i = 0 n − 1 m i ( g ( x i + 1 ) − g ( x i ) ) ( m i := inf x i ≤ x ≤ x i + 1 f ( x ) ) {\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}m_{i}(g(x_{i+1})-g(x_{i}))\quad (m_{i}:=\inf _{x_{i}\leq x\leq x_{i+1}}f(x))} を考え、これらのそれぞれ下限および上限をそれぞれダルブー＝スティルチェス上積分および下積分と呼べば L ( P , f , g ) ≤ ∫ a b _ f d g ≤ ∫ a ¯ b f d g ≤ U ( P , f , g ) {\displaystyle L(P,f,g)\leq {\underline {\,\int _{\,a}^{\,b}\!\!\!\!\!}}\quad f\,dg\leq \,\,{\overline {\!\!\int _{a}}}^{{} \atop \scriptstyle b}f\,dg\leq U(P,f,g)} が成立する。 lim | P | → 0 [ U ( P , f , g ) − L ( P , f , g ) ] = 0 , {\displaystyle \lim _{|P|\to 0}[U(P,f,g)-L(P,f,g)]=0,} すなわち上積分と下積分が存在して一致するとき、f は g に関してダルブー＝スティルチェス可積分であるといい、その一致する値を f の g に関するダルブー＝スティルチェス積分の値とする。 g が [a, b] 上非減少ならば、f の g に関する一般化リーマン＝スティルチェス積分が存在するための必要十分条件は、任意の ε > 0 に対して適当な分割 P を選べば U ( P , f , g ) − L ( P , f , g ) < ε {\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon } とできること、すなわち f が g に関してダルブー＝スティルチェス可積分となることである。さらに言えば、g が [a, b] 上非減少かつ f が g に関してダルブー＝スティルチェス可積分ならば、f は g に関して（古典的な意味で）リーマン＝スティルチェス可積分である（十分条件、Graves (1946, Chap. XII, §3)を参照）。 このようにダルブー＝スティルチェス積分とリーマン＝スティルチェス積分は双方がともに定義されるとき一致するので、ダルブー＝スティルチェス積分によって（すなわち過剰和と不足和が一致するときのダルブー＝スティルチェス和として）リーマン＝スティルチェス積分を定義することがある。 f が有界、g が非減少のとき、f, g が不連続点を共有しないならば、f の g に関するふたつのスティルチェス積分は存在して一致する。そうでないとき、一般にリーマン＝スティルチェス可積分ならばダルブー＝スティルチェス可積分だが、ダルブー＝スティスチェス積分が存在しても必ずしもリーマン＝スティルチェス可積分であるとは限らない。
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