ピタゴラス数の性質

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ピタゴラス数の性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)

「ピタゴラスの定理」の記事における「ピタゴラス数の性質」の解説

詳細は「ピタゴラス数」を参照 自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 m, n が m と n は互いに素 m > n m と n の奇偶が異なる（一方が奇数で他方が偶数） を満たすとして、 (a, b, c) = (m2 − n2, 2mn, m2 + n2) または (2mn, m2 − n2, m2 + n2) であることが必要十分である。上記の (m, n) は無数に存在するので、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより、すべての原始ピタゴラス数を重複なく計測できる。 例えば (m, n) = (2, 1) のとき (a, b, c) = (3, 4, 5) (m, n) = (3, 2) のとき (a, b, c) = (5, 12, 13) (m, n) = (4, 1) のとき (a, b, c) = (8, 15, 17) である。a < b を満たす原始ピタゴラス数を a の昇順に並べた一覧表は以下のようになる。 原始ピタゴラス数の一覧表#mnabc12 1 3 4 5 23 2 5 12 13 34 3 7 24 25 44 1 8 15 17 55 4 9 40 41 66 5 11 60 61 76 1 12 35 37 87 6 13 84 85 98 7 15 112 113 108 1 16 63 65 119 8 17 144 145 1210 9 19 180 181 135 2 20 21 29 1410 1 20 99 101 1511 10 21 220 221 1612 11 23 264 265 1712 1 24 143 145 1813 12 25 312 313 1914 13 27 364 365 207 2 28 45 53 2114 1 28 195 197 2215 14 29 420 421 2316 15 31 480 481 2416 1 32 255 257 257 4 33 56 65 #mnabc2617 16 33 544 545 2718 17 35 612 613 289 2 36 77 85 2918 1 36 323 325 3019 18 37 684 685 318 5 39 80 89 3220 19 39 760 761 3320 1 40 399 401 3421 20 41 840 841 3522 21 43 924 925 3611 2 44 117 125 3722 1 44 483 485 3823 22 45 1012 1013 3924 23 47 1104 1105 408 3 48 55 73 4124 1 48 575 577 4225 24 49 1200 1201 4310 7 51 140 149 4426 25 51 1300 1301 4513 2 52 165 173 4626 1 52 675 677 4727 26 53 1404 1405 4828 27 55 1512 1513 4928 1 56 783 785 5011 8 57 176 185 #mnabc5129 28 57 1624 1625 5230 29 59 1740 1741 5310 3 60 91 109 5415 2 60 221 229 5530 1 60 899 901 5631 30 61 1860 1861 5732 31 63 1984 1985 5832 1 64 1023 1025 599 4 65 72 97 6033 32 65 2112 2113 6134 33 67 2244 2245 6217 2 68 285 293 6334 1 68 1155 1157 6413 10 69 260 269 6535 34 69 2380 2381 6636 35 71 2520 2521 6736 1 72 1295 1297 6837 36 73 2664 2665 6914 11 75 308 317 7038 37 75 2812 2813 7119 2 76 357 365 7238 1 76 1443 1445 7339 38 77 2964 2965 7440 39 79 3120 3121 7540 1 80 1599 1601 原始ピタゴラス数 (a, b, c) について、次のような性質も成り立つ。 a または b は 4 の倍数 a または b は 3 の倍数 a または b または c は 5 の倍数 また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2ab（直角三角形の面積）は平方数でないことを無限降下法により証明した。