n = 4：フェルマー
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 23:31 UTC 版)
「フェルマーの最終定理」の記事における「n = 4：フェルマー」の解説
フェルマー自身の証明は、ディオファントスの『算術』に記された45番目の書き込みに含まれている。フェルマーは以下の手法、法則、定理を使い証明した。 指数法則に従って x4 + y4 = z4 を (x2)2 + (y2)2 = (z2)2 に変換し、ピタゴラス数の性質を利用する。 x, y, z は互いに素であるとする。 定理「互いに素である2つの数の和が平方数であるならば、2つの数もそれぞれ平方数である。」 x を偶数、z, y を奇数とする。 偶数と奇数の性質 無限降下法 フェルマーによる証明は後にレオンハルト・オイラーによって簡潔な形で直される。 n = 4 の場合がフェルマーによって証明された後は、残りの証明は n が奇素数の場合のみを考えればよいことになる。なぜなら、n が奇数の場合は、n = pq…r のように奇素数の積で表すことができて、奇素数 p のときに成り立てば、(xq…r)p + (yq…r)p = (zq…r)p より n = pq…r のときも成り立つことが示される。さらに、n が偶数の場合は、4で割った余りが0または2となるので、余りが0すなわち n = 4m の場合は (xm)4 + (ym)4 = (zm)4 より成り立ち、余りが2すなわち n = 4m+2 の場合は n = 2(2m+1) より n が奇数の因数 2m+1 を持つことになり 2m+1 を素因数分解したときの奇素数について成り立つからである。
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