マシュー正弦とマシュー余弦
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 02:02 UTC 版)
「マシュー函数」の記事における「マシュー正弦とマシュー余弦」の解説
固定された a および q に対し、マシュー余弦（Mathieu cosine） C ( a , q , x ) {\displaystyle C(a,q,x)} はマシュー方程式の唯一つの解として定義される x {\displaystyle x} の函数で、次の性質を満たす。 C ( a , q , 0 ) = 1 {\displaystyle C(a,q,0)=1} 。 偶函数である。したがって C ′ ( a , q , 0 ) = 0 {\displaystyle C^{\prime }(a,q,0)=0} 。 同様に、マシュー正弦（Mathieu sine） S ( a , q , x ) {\displaystyle S(a,q,x)} は次を満たす唯一つの解である。 S ′ ( a , q , 0 ) = 1 {\displaystyle S^{\prime }(a,q,0)=1} 。 奇函数である。したがって S ( a , q , 0 ) = 0 {\displaystyle S(a,q,0)=0} 。 これらは、フロケ解と密接に関連する実数値函数である。 C ( a , q , x ) = F ( a , q , x ) + F ( a , q , − x ) 2 F ( a , q , 0 ) {\displaystyle C(a,q,x)={\frac {F(a,q,x)+F(a,q,-x)}{2F(a,q,0)}}} S ( a , q , x ) = F ( a , q , x ) − F ( a , q , − x ) 2 F ′ ( a , q , 0 ) . {\displaystyle S(a,q,x)={\frac {F(a,q,x)-F(a,q,-x)}{2F^{\prime }(a,q,0)}}.} （固定された a および q に対する）マシュー方程式の一般解は、マシュー余弦函数およびマシュー正弦函数の線型結合である。 注目すべき特殊な例として、 C ( a , 0 , x ) = cos ( a x ) , S ( a , 0 , x ) = sin ( a x ) a {\displaystyle C(a,0,x)=\cos({\sqrt {a}}x),\;S(a,0,x)={\frac {\sin({\sqrt {a}}x)}{\sqrt {a}}}} がある。すなわち、対応するヘルムホルツ方程式の問題が円対称性を持つ例である。 一般に、マシュー正弦およびマシュー余弦は非周期的である。それにもかかわらず、q の値が小さい場合には、近似的に C ( a , q , x ) ≈ cos ( a x ) , S ( a , q , x ) ≈ sin ( a x ) a {\displaystyle C(a,q,x)\approx \cos({\sqrt {a}}x),\;\;S(a,q,x)\approx {\frac {\sin({\sqrt {a}}x)}{\sqrt {a}}}} が成立する。 例：
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