フロケの定理のマシュー方程式への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/15 20:00 UTC 版)
「フロケ理論」の記事における「フロケの定理のマシュー方程式への応用」の解説
マシュー方程式とは、楕円柱に対する波動方程式に関連するものである。 与えられた a ∈ R , q ∈ C {\displaystyle a\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {C} } に対するマシュー方程式とは、次のようなものである。 d 2 y d w 2 + ( a − 2 q cos 2 w ) y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dw^{2}}}+(a-2q\cos 2w)y=0.} マシュー方程式は、周期係数を持つ二階の線型微分方程式である。 マシュー函数に関する最も有用な結果は、フロケの定理 [1, 2] である。その定理によれば、任意のペア (a, q) に対するマシュー方程式の解は次の形式で表現される。 y ( w ) = F ν ( w ) = e i w ν P ( w ) {\displaystyle y(w)=F_{\nu }(w)=e^{iw\nu }P(w)\,} y ( w ) = F ν ( − w ) = e − i w ν P ( − w ) . {\displaystyle y(w)=F_{\nu }(-w)=e^{-iw\nu }P(-w).\,} ここで ν {\displaystyle \nu } は a および q に依存する定数であり、P(.) は w について π {\displaystyle \pi } -周期的である。 この定数 ν {\displaystyle \nu } は特性指数（characteristic exponent）と呼ばれる。 ν {\displaystyle \nu } が整数であるなら、 F ν ( w ) {\displaystyle F_{\nu }(w)} および F ν ( − w ) {\displaystyle F_{\nu }(-w)} は線型独立な解である。さらに、 y ( w + k π ) = e i ν k π y ( w ) or y ( w + k π ) = e − i ν k π y ( w ) , {\displaystyle y(w+k\pi )=e^{i\nu k\pi }y(w){\text{ or }}y(w+k\pi )=e^{-i\nu k\pi }y(w),\,} がそれぞれ解 F ν ( w ) {\displaystyle F_{\nu }(w)} or F ν ( − w ) {\displaystyle F_{\nu }(-w)} に対して成立する。 ペア (a, q) は | cosh ( i ν π ) | < 1 {\displaystyle |\cosh(i\nu \pi )|<1} を満たすようなもので、したがって解 y ( w ) {\displaystyle y(w)} は実軸上で有界であるものと仮定する。マシュー方程式の一般解は、（ q ∈ R {\displaystyle q\in \mathbb {R} } および ν {\displaystyle \nu } は非整数）次のような形式で記述される。 y ( w ) = c 1 e i w ν P ( w ) + c 2 e − i w ν P ( − w ) , {\displaystyle y(w)=c_{1}e^{iw\nu }P(w)+c_{2}e^{-iw\nu }P(-w),\,} ここで c 1 {\displaystyle c_{1}} および c 2 {\displaystyle c_{2}} は任意定数である。 分数次あるいは整数次のすべての有界な解は、振動数が増加するにつれて振幅が減少するような調和振動の無限級数として表現される。 マシュー方程式の、他の非常に重要な性質として、直交性（orthogonality）が挙げられる [3]： a ( ν + 2 p , q ) {\displaystyle a(\nu +2p,q)} および a ( ν + 2 s , q ) {\displaystyle a(\nu +2s,q)} が cos ( π ν ) − y ( π = 0 ) = 0 , {\displaystyle \cos(\pi \nu )-y(\pi =0)=0,\,} ∫ 0 π F ν + 2 p ( w ) F ν + 2 s ( − w ) d w = 0 , p ≠ s , {\displaystyle \int _{0}^{\pi }F_{\nu +2p}(w)F_{\nu +2s}(-w)\,dw=0,\qquad p\neq s,} ⟨ F ν + 2 p ( w ) , F ν + 2 s ( w ) ⟩ = 0 , p ≠ s , {\displaystyle \langle F_{\nu +2p}(w),F_{\nu +2s}(w)\rangle =0,\qquad p\neq s,} が成立する。ここで <·,·> は 0 から π に対して定義される内積である。
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