フロケの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/15 20:00 UTC 版)
x ˙ = A ( t ) x {\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x} を一階の線型微分方程式とし、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} は長さ n {\displaystyle n} の列ベクトルとし、 A ( t ) {\displaystyle A(t)} は周期 T {\displaystyle T} の n × n {\displaystyle n\times n} 周期行列とする（すなわち、すべての実数値 t {\displaystyle t} に対して A ( t + T ) = A ( t ) {\displaystyle A(t+T)=A(t)} が成立する）。 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi \,(t)} をこの微分方程式のある基本解行列とする。このとき、全ての t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } に対して ϕ ( t + T ) = ϕ ( t ) ϕ − 1 ( 0 ) ϕ ( T ) {\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T)\ } ϕ − 1 ( 0 ) ϕ ( T ) {\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)\ } はモノドロミー行列として知られるものである。さらに（複素数値でもあり得る）各行列 B {\displaystyle B} で e T B = ϕ − 1 ( 0 ) ϕ ( T ) , {\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),\ } を満たすようなものに対し、周期 T {\displaystyle T} の周期行列関数 t ↦ P ( t ) {\displaystyle t\mapsto P(t)} で ϕ ( t ) = P ( t ) e t B for all t ∈ R {\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \ } を満たすようなものが存在する。また、ある実行列 R {\displaystyle R} と実周期（ 2 T {\displaystyle 2T} -周期）行列函数 t ↦ Q ( t ) {\displaystyle t\mapsto Q(t)} で ϕ ( t ) = Q ( t ) e t R for all t ∈ R {\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \ } を満たすようなものが存在する。以上の議論において、 B {\displaystyle B} 、 P {\displaystyle P} 、 Q {\displaystyle Q} および R {\displaystyle R} は n × n {\displaystyle n\times n} 行列である。
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