クローニッヒ・ペニーモデル: 別解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 01:09 UTC 版)
「クローニッヒ・ペニーのモデル」の記事における「クローニッヒ・ペニーモデル: 別解」の解説
ここでデルタ型の周期ポテンシャルを考える。 V ( x ) = A ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n ⋅ a ) . {\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n\cdot a).} Aはある定数で、aは格子定数（各サイト間の間隔）。このポテンシャルは周期的であるため、これをフーリエ級数として展開できる。 V ( x ) = ∑ K V ~ ( K ) ⋅ e i ⋅ K ⋅ x , {\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{i\cdot K\cdot x},} ここで V ~ ( K ) = 1 a ∫ − a / 2 a / 2 d x V ( x ) e − i K x = 1 a ∫ − a / 2 a / 2 d x ∑ n = − ∞ ∞ A δ ( x − n a ) e − i K x = A a {\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}} . ブロッホの定理によると波動関数は ψ k ( x ) = e i k x u k ( x ) {\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)} と表せ、 u k ( x ) {\displaystyle u_{k}(x)} は格子の周期性を持つ関数である。このことは、 u k ( x ) {\displaystyle u_{k}(x)} もフーリエ級数として展開できることを意味する。 u k ( x ) = ∑ K u ~ k ( K ) e i K x . {\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.} よって波動関数は、 ψ k ( x ) = ∑ K u ~ k ( K ) e i ( k + K ) x . {\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.} これをシュレーディンガー方程式に代入すると、 [ ℏ 2 ( k + K ) 2 2 m − E k ] ⋅ u ~ k ( K ) + ∑ K ′ V ~ ( K − K ′ ) u ~ k ( K ′ ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0} または、 [ ℏ 2 ( k + K ) 2 2 m − E k ] ⋅ u ~ k ( K ) + A a ∑ K ′ u ~ k ( K ′ ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0} ここで新しい関数を定義する。 f ( k ) := ∑ K ′ u ~ k ( K ′ ) {\displaystyle f(k):=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')} これをシュレーディンガー方程式に代入すると、 [ ℏ 2 ( k + K ) 2 2 m − E k ] ⋅ u ~ k ( K ) + A a f ( k ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}f(k)=0} これを u ~ k ( K ) {\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)} について解くと、 u ~ k ( K ) = 2 m ℏ 2 A a f ( k ) 2 m E k ℏ 2 − ( k + K ) 2 = 2 m ℏ 2 A a 2 m E k ℏ 2 − ( k + K ) 2 f ( k ) {\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)} 全てのKについてこの式を足し合わせると、 ∑ K u ~ k ( K ) = ∑ K 2 m ℏ 2 A a 2 m E k ℏ 2 − ( k + K ) 2 f ( k ) {\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)} または、 f ( k ) = ∑ K 2 m ℏ 2 A a 2 m E k ℏ 2 − ( k + K ) 2 f ( k ) {\displaystyle f(k)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,f(k)} 都合がよいことに、 f ( k ) {\displaystyle f(k)} は打ち消しあい、 1 = ∑ K 2 m ℏ 2 A a 2 m E k ℏ 2 − ( k + K ) 2 {\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}} または、 ℏ 2 2 m a A = ∑ K 1 2 m E k ℏ 2 − ( k + K ) 2 {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}} ここで式を簡単にするため、新しい変数を定義する。 α 2 := 2 m E k ℏ 2 {\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}} これを用いると、 ℏ 2 2 m a A = ∑ K 1 α 2 − ( k + K ) 2 {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}} ここでKは逆格子ベクトルである。つまりKについての和は、 2 π a {\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}} の整数倍にわたる和である。よって、 ℏ 2 2 m a A = ∑ n = − ∞ ∞ 1 α 2 − ( k + 2 π n a ) 2 {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}} ここで部分分数分解を用いて式を変形すると、 ℏ 2 2 m a A = ∑ n = − ∞ ∞ 1 α 2 − ( k + 2 π n a ) 2 = − 1 2 α ∑ n = − ∞ ∞ [ 1 ( k + 2 π n a ) − α − 1 ( k + 2 π n a ) + α ] = − a 4 α ∑ n = − ∞ ∞ [ 1 π n + k a 2 − α a 2 − 1 π n + k a 2 + α a 2 ] = − a 4 α [ ∑ n = − ∞ ∞ 1 π n + k a 2 − α a 2 − ∑ n = − ∞ ∞ 1 π n + k a 2 + α a 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}} cot関数の和の良い恒等式 (Equation 18) cot ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 n π + x {\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{n\pi +x}}} を代入すると、 ℏ 2 2 m a A = − a 4 α [ cot ( k a 2 − α a 2 ) − cot ( k a 2 + α a 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]} cotの和を用い、sinの積（cotの和の公式の一部） cos ( k a ) = cos ( α a ) + m A ℏ 2 α sin ( α a ) {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)} この式は、αを通じたエネルギーと波数ベクトルkの関係を示す。見てわかるように、この式の右辺は-1から1の範囲のみであるため、これらの式の解が存在しないαがある。つまり系がとることができないある範囲のエネルギーがある（エネルギーギャップ）。これがいわゆるエネルギーギャップで、デルタ型または長方形型の障壁だけでなく全ての形の周期ポテンシャルで存在する。 バンド間のギャップについての別の詳細な計算について、また1次元シュレーディンガー方程式の固有値の準位分裂については文献 を参照。コサイン型ポテンシャル（マシュー方程式）での結果についても、文献で詳細に与えられている。
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