楕円孔の応力集中
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/03 06:19 UTC 版)
遠方から長軸に垂直な一様引張応力を受ける無限板に存在する楕円孔について、最大応力を含む線上での応力分布は次式で与えられる。 σ y = σ 0 [ 1 ξ 2 − 1 ( ξ 2 + a a − b ) − 1 ( ξ 2 − 1 ) 2 { ξ 2 2 ( a − b a + b − a + 3 b a − b ) − b ( a + b ) ( a − b ) 2 } − 4 ξ 2 ( ξ 2 − 1 ) 3 ( ξ 2 b a + b − b a − b ) a a − b ] {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{y}=&\sigma _{0}{\bigg [}{\frac {1}{\xi ^{2}-1}}\left(\xi ^{2}+{\frac {a}{a-b}}\right)\\&-{\frac {1}{(\xi ^{2}-1)^{2}}}\left\{{\frac {\xi ^{2}}{2}}\left({\frac {a-b}{a+b}}-{\frac {a+3b}{a-b}}\right)-{\frac {b(a+b)}{(a-b)^{2}}}\right\}\\&-{\frac {4\xi ^{2}}{(\xi ^{2}-1)^{3}}}\left({\frac {\xi ^{2}b}{a+b}}-{\frac {b}{a-b}}\right){\frac {a}{a-b}}{\bigg ]}\\\end{aligned}}} ξ = x + x 2 − c 2 c , c = a 2 − b 2 {\displaystyle \xi ={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-c^{2}}}}{c}}\quad ,\quad c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} ここで σy：楕円孔長軸(x軸)上の垂直応力 σ0：遠方引張応力 a：楕円孔長辺 b：楕円孔短辺 x：楕円孔長軸(x軸)上の楕円孔中心からの距離 最大応力は上式でx = a(楕円孔長辺縁)の位置で発生し、この点で応力集中係数は次のようになる。 K t = 1 + 2 a b {\displaystyle K_{t}=1+{\frac {2a}{b}}} あるいはx = aの点における曲率半径を用いて次のようにも表される。 K t = 1 + 2 a ρ , ρ = b 2 / a {\displaystyle K_{t}=1+2{\sqrt {\frac {a}{\rho }}}\quad ,\quad \rho =b^{2}/a} 楕円孔は、b → 0とすればき裂（グリフィスき裂）の問題となり、また、等価楕円の概念を利用して任意形状の切欠きの応力集中系数を近似できる場合があるなど、他の問題への応用の広がりが大きい。
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