楕円型変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
メビウス変換が楕円型 (elliptic) であるとは、その表現行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} のトレースが 0 ≤ ( tr H ) 2 < 4 {\displaystyle 0\leq ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}<4} なる実数となるときにいう。メビウス変換が楕円型となることと、上述の λ について |λ| = 1 となることとは同値である。いま、λ = eiα と書けば、α は実数であって、楕円型メビウス変換は ( cos α − sin α sin α cos α ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}} に共軛である。 特性定数 k を持つ如何なる H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} についても、 H n {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}} の特性定数は kn となることに注意すべきである。このことから、有限位数のメビウス変換は必ず楕円型であり、λ は1の冪根とならねばならない。これはつまり、上述の α が π の有理数倍であるときに限るといっても同じことである。
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楕円型変換
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ρ = 0 の場合、不動点は反発的でも吸引的でもなく中立的であり、そのような変換は楕円型であるという。楕円型変換では任意の点が二つの不動点の周りをまわる円に沿って動く。一方の不動点が無限遠の場合は、これは一点の周りのアフィン回転を行うことと同値である。 任意の楕円型メビウス変換で生成される一径数部分群をとれば、この部分群の各変換が同じ二点を固定するような、連続変換が得られる。他の点はどれもリーマン球面上の二つの不動点の間でネストされた円の族に沿って流れる。一般に、二つの不動点は相異なる任意の二点を取ることができる。 このことは重要な物理学的解釈を持つ。観測者がある軸に関して角速度一定の回転をすることを想像し、二つの不動点を天球の北極と南極にとることにすれば、夜空の様子はちょうど二つの不動点 0, ∞ を共有する楕円型変換全体の成す一径数部分群によって記述されるのと同じ仕方で連続的に変換される。実数 α は観測者の一定な角速度に対応する。 次の二つの図は、楕円型メビウス変換のリーマン球面への効果（を平面へ立体投影したもの）を表したものである。 これらの図は単独のメビウス変換の効果を図示したものである。一径数部分群は、これを図によって示唆される円弧の族に沿って各点を「連続的に」動かすことで生成される。
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