楕円体の性質を表す式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/15 08:53 UTC 版)
楕円面の媒介変数表示は極座標系を用いると x = a sin θ cos φ y = b sin θ sin φ z = c cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin \theta \cos \varphi \\y&=b\sin \theta \sin \varphi \\z&=c\cos \theta \end{aligned}}} 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \varphi \leq 2\pi } と表される。楕円体の体積 V は V = 4 3 π a b c {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc} である。表面積 S は S = 2 π ( c 2 + b a 2 − c 2 E ( o ε , m ) + b c 2 a 2 − c 2 F ( o ε , m ) ) {\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right)} となる。 o ε {\displaystyle o\!\varepsilon } はモジュラー角、 m = b 2 − c 2 b 2 sin 2 o ε {\displaystyle m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}} 、 E ( o ε , m ) {\displaystyle E(o\!\varepsilon ,m)} 、 F ( o ε , m ) {\displaystyle F(o\!\varepsilon ,m)} はそれぞれ第一種および第二種楕円積分である。近似式で S ≈ 4 π ( a p b p + a p c p + b p c p 3 ) 1 / p {\displaystyle S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}} という公式が知られている。ここでpは定数で、p = 1.6075 のとき誤差は最大でも1.061%である。
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