楕円テータ関数の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:57 UTC 版)
楕円テータ関数（だえんテータかんすう、英: elliptic theta function）は、以下のように定義された関数である。ただし、 I m τ > 0 {\displaystyle \mathrm {Im} \,\tau >0} , q := e π i τ {\displaystyle q:=e^{\pi i\tau }} である。 ϑ 1 ( v , τ ) := − ϑ 11 ( v , τ ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) = 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q ( n + 1 2 ) 2 sin ( 2 n + 1 ) π v , ϑ 2 ( v , τ ) := ϑ 10 ( v , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) v = 2 ∑ n = 0 ∞ q ( n + 1 2 ) 2 cos ( 2 n + 1 ) π v , ϑ 3 ( v , τ ) := ϑ 00 ( v , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e i π τ n 2 + 2 π i n v = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ q n 2 cos 2 n π v , ϑ 4 ( v , τ ) := ϑ 01 ( v , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( v + 1 2 ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n q n 2 cos 2 n π v , {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v,\tau )&:=-\vartheta _{11}(v,\tau )=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(v+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}q^{{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}\sin(2n+1)\pi v},\\\vartheta _{2}(v,\tau )&:=\vartheta _{10}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)v}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }q^{{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}^{2}}\cos(2n+1)\pi v,\\\vartheta _{3}(v,\tau )&:=\vartheta _{00}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i\pi \tau n^{2}+2\pi inv}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos 2n\pi v,\\\vartheta _{4}(v,\tau )&:=\vartheta _{01}(v,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi in\left(v+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos 2n\pi v,\\\end{aligned}}} 楕円テータ関数にも定義に 2 つの流儀があり、注意が必要である。フルヴィッツ・クーランの「楕円関数論」の定義では添え字が 1 から 4 ではなく、0 から 3 である。その場合は ϑ 1 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{1}(v,\tau )} , ϑ 2 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}(v,\tau )} , ϑ 3 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v,\tau )} の定義は変わらず、 ϑ 0 ( v , τ ) := ϑ 4 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{0}(v,\tau ):=\vartheta _{4}(v,\tau )} で定義される。文脈から v あるいは τ が明らかな場合は ϑ i ( v ) {\displaystyle \vartheta _{i}(v)} あるいは ϑ i ( τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}(\tau )} と書き、更に ϑ i = ϑ i ( 0 , τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}=\vartheta _{i}(0,\tau )} と書く。Mathematica では、 π v {\displaystyle \pi v} のことを v と書いている。
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