楕円の方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 04:13 UTC 版)
2次元直交座標系で、原点 O が長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に次のように書ける。これを標準形という。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} a > b > 0 のとき、2a は長軸の長さ（長径）、2b は短軸の長さ（短径）となる。xy 平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点はx 軸上にあり、その座標は ( a 2 − b 2 , 0 ) , ( − a 2 − b 2 , 0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right),\left(-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right)} となる。 b > a > 0 のときは逆に、2b が長軸の長さ（長径）、2a が短軸の長さ（短径）となる。したがって、xy 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。また、焦点は y 軸上にあり、その座標は ( 0 , b 2 − a 2 ) , ( 0 , − b 2 − a 2 ) {\displaystyle \left(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right),\left(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right)} となる。(a = bの時は円となる) 同じ楕円は、t を媒介変数とする媒介変数表示では、次のように表現できる。 x = a cos t {\displaystyle x=a\,\cos t} y = b sin t {\displaystyle y=b\,\sin t} 0 ≤ t < 2 π {\displaystyle 0\leq t<2\pi } ただし、t は (x,y) ベクトルのx軸に対する角度ではない（天体力学では離心近点角と呼ばれる）。 「緯度#更成緯度 (reduced latitude)」も参照 また、 u = tan ( t / 2 ) {\displaystyle u=\tan(t/2)} と置くと、 cos ( t ) = 1 − u 2 1 + u 2 sin ( t ) = 2 u 1 + u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(t)&={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\\sin(t)&={\frac {2u}{1+u^{2}}}\end{aligned}}} となるので、下記の表現でも楕円を表すことができる。この場合uの範囲は[0,1]である。 x = a ( 1 − u 2 ) 1 + u 2 y = 2 b u 1 + u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a(1-u^{2})}{1+u^{2}}}\\y&={\frac {2bu}{1+u^{2}}}\end{aligned}}} 複素平面Cにおいては,Cの二点 a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} からの点 z {\displaystyle z} への距離 r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} の和が l {\displaystyle l} であるものの軌跡である。 r 1 , 2 = | z − a 1 , 2 | r 1 + r 2 = l {\displaystyle {\begin{aligned}&r_{1,2}=|z-a_{1,2}|\\&r_{1}+r_{2}=l\end{aligned}}}
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