楕円の周長
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/05 15:12 UTC 版)
「楕円#楕円の幾何学的諸量」も参照 楕円 x2/a2 + y2/b2 = 1 の周長lは長軸と短軸の長さ (= 2a, 2b) のみで決まるが、周長は第二種完全楕円積分によって求めなければならない。以下に求め方の一例を示す。 l = 4 a ∫ 0 π 2 1 − k 2 sin 2 t d t = 2 π a [ 1 − ∑ n = 1 ∞ k 2 n 2 n − 1 { ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! } 2 ] , ( k = 1 − b 2 a 2 ) {\displaystyle l=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}t}}dt=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{2n-1}}\left\{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right\}^{2}\right],\left(k={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\right)}
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