楕円の幾何学的諸量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/07 04:13 UTC 版)
楕円の形状は離心率 e で表現される。 e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} 別途、扁平率 f でも表現できる。 f = 1 − b a {\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}} 楕円の面積 S は次のように表現できる。 S = π a b {\displaystyle S=\pi ab\,} 楕円の周長 C は a > b のとき、第二種完全楕円積分を用いて次のように表現できる。 C = 4 ∫ 0 π 2 a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t d t = 4 a ∫ 0 π 2 1 − e 2 sin 2 t d t = 2 π a ∑ n = 0 ∞ e 2 n 1 − 2 n ∏ m = 1 n ( 1 − 1 2 m ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}C&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,dt\\&=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}t}}\,dt\\&=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{e^{2n} \over 1-2n}\prod _{m=1}^{n}\left(1-{1 \over 2m}\right)^{2}\end{aligned}}} また n = f / ( 2 − f ) {\displaystyle n=f/(2-f)} とおき、二項係数を使って、次のようにも表現できる（Gauss-Kummer級数）。 C = 2 π a 1 + n ∑ i = 0 ∞ ( 1 / 2 i ) 2 n 2 i . {\displaystyle {\begin{aligned}C={\frac {2\pi a}{1+n}}\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {1/2}{i}}^{2}n^{2i}.\end{aligned}}} 計算機で計算する場合に有用な式としては、分母が 27 1024 ( a − b a + b ) 8 {\displaystyle {\tfrac {27}{1024}}\left({\tfrac {a-b}{a+b}}\right)^{8}} の率で消える式が次のように導出されている。 C = 8 π Q 5 / 4 ∑ n = 0 ∞ ( 1 12 ) n ( 5 12 ) n ( v 1 + n v 2 ) r n ( n ! ) 2 {\displaystyle C={\frac {8\pi }{Q^{5/4}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left({\tfrac {1}{12}}\right)_{n}\left({\tfrac {5}{12}}\right)_{n}\left(v_{1}+nv_{2}\right)r^{n}}{\left(n!\right)^{2}}}} r = 432 ( a 2 − b 2 ) 2 ( a − b ) 6 b a Q 3 {\displaystyle r={\tfrac {432\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}(a-b)^{6}ba}{Q^{3}}}\,} Q = b 4 + 60 a b 3 + 134 a 2 b 2 + 60 a 3 b + a 4 {\displaystyle Q=b^{4}+60ab^{3}+134a^{2}b^{2}+60a^{3}b+a^{4}\,} v 1 = b a ( 15 b 4 + 68 a b 3 + 90 a 2 b 2 + 68 a 3 b + 15 a 4 ) {\displaystyle v_{1}=ba\left(15b^{4}+68ab^{3}+90a^{2}b^{2}+68a^{3}b+15a^{4}\right)\,} v 2 = − a 6 − b 6 + 126 a b 5 + 1041 a 2 b 4 + 1764 a 3 b 3 + 1041 a 4 b 2 + 126 a 5 b {\displaystyle v_{2}=-a^{6}-b^{6}+126ab^{5}+1041a^{2}b^{4}+1764a^{3}b^{3}+1041a^{4}b^{2}+126a^{5}b\,} 近似式としては、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによる次の二式がある。簡便なものとしては、 C ≈ π [ 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ] = π [ 3 ( a + b ) − 10 a b + 3 ( a 2 + b 2 ) ] {\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}~\right]} があり、さらに良い近似として、次式がある。 C ≈ π ( a + b ) [ 1 + 3 ( a − b a + b ) 2 10 + 4 − 3 ( a − b a + b ) 2 ] {\displaystyle C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\dfrac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\dfrac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]} より一般的には、対応する角度の関数としての、周長の一部である楕円弧長は、第二種不完全楕円積分で表される。 対応する角度を地理緯度に見立てた場合の楕円弧長については「子午線弧#子午線弧長の計算」を参照
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