楔積の交代性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
この積は V の元の上で反対称的である。x, y ∈ V とすれば x + y ∈ V ゆえ 0 = ( x + y ) ∧ ( x + y ) = x ∧ x + x ∧ y + y ∧ x + y ∧ y = x ∧ y + y ∧ x {\displaystyle 0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x} が成り立つから x ∧ y = − y ∧ x {\displaystyle x\wedge y=-y\wedge x} が得られる。あるいはもっと一般に x1, x2 …, xk を V の元、σ を整数 {1, ..., k} の置換 とすれば x σ ( 1 ) ∧ x σ ( 2 ) ∧ ⋯ ∧ x σ ( k ) = s g n ( σ ) x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k {\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}={\rm {sgn}}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}} が成立する。ここで sgn(σ) は置換 σ の符号である。
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