有理曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/11 07:13 UTC 版)
有理曲線（一筆書き曲線とも言う）は直線に双有理同値な任意の曲線の総称である（ここに直線は射影直線の意味にとるものとする）。従って、この曲線の函数体を一変数有理函数体 F(x) と同一視することができる。F が代数閉体ならば、これは種数 0 の曲線に同値である。しかし、実代数多様体 x2 + y2 = −1 上で定義された実代数函数全体の成す体は、種数 0 の体ではあるが、有理函数体でない。 逆に任意の体 F 上の種数0の曲線は、その体上に一点でも点をもつならば射影直線 P1(F) に双有理同値である。実際、代数曲線 C の因子 D に対し、曲線上の有理関数 f で ( f ) + D ≥ 0 {\displaystyle (f)+D\geq 0} となるもの全体のなすベクトル空間の次元を l ( D ) {\displaystyle l(D)} とかくと代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理より l(D)=deg(D)+1 がつねに成り立つ。特に任意の点 P に対し l(P)=2 であるから ( f ) + ( P ) ≥ 0 {\displaystyle (f)+(P)\geq 0} となる、定数関数でない有理関数 f が存在する。f は P で位数1の極をもち、それ以外の極をもたない。よって任意の定数 c に対し f-c も P で位数1の極をもち、それ以外の極を持たないので、 f-c はただ一つの零点を持つ。よって f は無限大を含むすべての値を一度ずつとるので、f は C と射影直線の1対1対応を与える。 具体的に、F 上 n 次元の有理曲線は、一つの助変数 t によって定義された n 本の有理函数からなるという意味において、（孤立した例外点を除いて）パラメータ付けすることができる。分母を払って、これらの有理函数を射影空間内の n + 1 本の多項式函数にすることができる。一つの例が有理正規曲線（英語版）である。 F 上定義された F-有理点を持つ任意の円錐曲線は有理曲線である。これは有理点を通る傾き t の直線を描くことによりパラメータ付けすることができ、交線は平面二次曲線になる。これは F-有理係数の多項式と一つの F-有理根をあたえるから、ほかの根もまた F-有理根（つまり F に属する）である。 例えば、楕円 x2 + xy + y2 = 1 は (−1, 0) を有理点に持つ。(−1,0) から傾き t の直線 y = t(x + 1) を描いて、楕円の方程式に代入し、因数分解して x について解けば x = 1 − t 2 1 + t + t 2 {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}} を得る。従って方程式から y は y = t ( x + 1 ) = t ( t + 2 ) 1 + t + t 2 {\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}} と書けて、これらがこの楕円の有理媒介変数表示を定めるから、この楕円が有理曲線であることが示された。これによりこの楕円上の全ての点が、t = ∞ に対応する点 (−1,1) を除いて与えられる。従って、曲線全体は実射影直線によってパラメータ付けられている。 このような有理媒介変数表示は、初めの方の射影座標はこの媒介変数表示の分子と等しいと置き、最後の座標は表示の共通分母ととることにより射影空間内で考えることができる。この助変数が射影直線上定義されているのと同じく、この助変数に関する各多項式も斉次化を考えるべきである。つまり、例えば上記の楕円に関する射影的媒介元数表示は X = U 2 − T 2 , Y = T ( T + 2 U ) , Z = T 2 + T U + U 2 {\displaystyle X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}} となる。これら方程式から T と U を消去（英語版）すれば、楕円の射影的方程式 X 2 + X Y + Y 2 = Z 2 {\displaystyle X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2}} が回復される（この式自体は上記の楕円の方程式を斉次化すれば直接に得られる）。 曲線の一覧（英語版）に挙げられている多くの曲線が有理曲線であり、したがって同様の有理媒介変数表示を持つ。
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有理曲線
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/25 17:09 UTC 版)
「クインティックスリーフォールド」の記事における「有理曲線」の解説
Clemens (1984) は、一般的なクインティックスリーフォルド上の与えられた次数の有理曲線の数が有限であることを予想した。（なめらかで非退化なクインティックスリーフォルドは無限の直線の族を持っている。）このことは次数が 7 以下では Katz (1986)で示されていて、彼は2次有理曲線の数が 609250 であることも計算していた。Philip Candelas, Xenia C. de la Ossa, and Paul S. Green et al. (1991) では、任意の次数の有理曲線の数の公式が予想され、Givental (1996) で証明された（仮想数が実際の数に等しいという事実は、クレメンスの予想に依存している。現在、高々、次数 11 に対して、知られているCotterill (2012))。一般的なクインティックスリーフォールド上の有理曲線の数は、 5, 2875, 609250, 317206375, 242467530000, ...オンライン整数列大辞典の数列 A076912. で与えられている。一般のクインティックスリーフォルドはカラビ・ヤウ多様体であり、与えられた次数の有理曲線のモジュライ空間は離散的で有限な集合（従ってコンパクト）であるので、これらは well-defined なドナルドソン・トーマス不変量である（「点の仮想数」、少なくとも次数 1 と 2 に対し、これらは実際に点の数に一致する）。
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