1対1対応

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全単射

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/12 04:17 UTC 版)

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数学において、全単射 (ぜんたんしゃ) あるいは双射 (そうしゃ) (bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が挙げられる。

全単射であることを1対1上への写像［上への1対1写像］ (one-to-one onto mapping) あるいは1対1対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。

写像 f が全単射のとき、f は可逆であるともいう。

定義

写像 f: A → B に対し、2つの条件

1. 全射性: f(A) = B
2. 単射性: 任意の A の元 a₁, a₂ について、f(a₁) = f(a₂) ならば a₁ = a₂

がともに成り立つとき、写像 f は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。

f: A → B が全単射であることは、

${\displaystyle \forall \ b\in B,\,\exists \ !\ a\in A{\text{ s.t. }}b=f(a)}$
全射でも単射でもない
単射であり全射でない
全射であり単射でない
全単射

例

• f: R → (0, ∞); f(x) := e^x は全単射である。

• f: (0, ∞) → R; f(x) := log x は全単射である。

• f: (−π/2, π/2) → R; f(x) := tan x は全単射である。

存在の例

• 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ カテゴリ