アレクサンドロフ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 02:16 UTC 版)
位相空間 P がアレクサンドロフ空間（英語版）であるとは、P 上の（有限または無限個の）任意の開集合の共通部分が必ず開集合になることである。 アレクサンドロフ空間は前順序集合と自然に1対1対応していることが知られている。実際任意の前順序集合 P に対し、 U が P の開集合 ⇔ U が P の上方集合 により P に位相を入れたものはアレクサンドロフ空間になる。（この位相を P のアレクサンドロフ位相という。） 逆に任意のアレクサンドロフ空間 P に対し P 上の「specialization preorder（英語版）」を前順序とすることで P を前順序集合と見なすことができる。 ここで位相空間 P のspecialization preorderとは x ≤ y ⟺ { x } ¯ ⊂ { y } ¯ {\displaystyle x\leq y\iff {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}} で定義される前順序のことである。上式で { x } ¯ {\displaystyle {\overline {\{x\}}}} は一元集合{x} の閉包である。（なお、P がT0空間であればspecialization preorder は半順序であることが知られている。） 以上の対応関係により、集合P におけるアレクサンドロフ空間としての構造とP 上の前順序は1対1対応する。 specialization preorderはアレクサンドロフ空間でなくとも定義可能であるが、アレクサンドロフ空間でない位相空間上ではspecialization preorderに対して上方集合でない開集合も存在する。（なおこの場合でも開集合は常に上方集合である）。したがって前述したような、上方集合を開集合とする位相を考えても元の位相は復元できない。
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