有理根定理を用いた方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 03:29 UTC 版)
「2の平方根」の記事における「有理根定理を用いた方法」の解説
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} の有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上の既約多項式 P(x) = x2 − 2 を用いる。P(x) は有理根をもつと仮定する。それを x = p/q（p, q を互いに素な整数）と表すと、有理根定理より、p は定数項 −2 の約数、q は最高次係数 1 の約数である。ゆえに P(x) の根 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数または無理数である。2 は平方数でないから、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数ではない。ゆえに、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数である。■ この証明は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} に限らず一般化して、平方数でない自然数の平方根の無理性を示すことにも使える。
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